Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

n^2+1|n!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 jacob

jacob

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Đã gửi 13-02-2005 - 17:56

Tìm $n$ nguyên dương để:
$$n! \vdots   (n^2+1) $$



#2 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 01-04-2014 - 20:54

Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)

Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)

Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1

Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$

$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$

Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$

Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$

Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$



#3 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 01-04-2014 - 21:38

Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)

Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)

Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1

Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$

$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$

Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$

Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$

Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

cái này chỉ chứng minh được có vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn thôi bạn :)



#4 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 03-04-2014 - 08:02

cái này chỉ chứng minh được có vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn thôi bạn :)

có mà bạn

cuối cùng mình suy ra được xk! chia hết cho xk^2+1



#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-04-2014 - 10:51

Giải: Xét phương trình $x^{2}-5y^{2}=-1$(Phương trình pell loại 2)

Ta có nghiệm nhỏ nhất là (9;4)

Vậy áp dụng công thức ta có hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} u^{2}+5v^{2}=9 & \\ 2uv=4 & \end{matrix}\right.$ suy ra u=2 và v=1

Suy ra phương trình trên có nghiệm là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n};$

$y_{0}=1;y_{1}=17;y_{n+2}=18y_{n+1}-y_{n}$

Xét $5< y_{k}< 2y_{k}.$; $y_{k}>5\Rightarrow 4y_{k}^{2}<5y_{k}^{2}-1=x_{k}^{2}$

Vậy $5< y_{k}< 2y_{k}< x_{k}$

Vậy $x_{k}!\vdots (5y_{k}2y_{k})=(2x_{k}^{2}+1)$ suy ra $x_{k}!\vdots (x_{k}^{2}+1)$

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x_{0}=2;x_{1}=38;x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.

Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :

$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$

$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$

Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$

$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)

$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.

(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 03-04-2014 - 20:30

Mình chỉ có thể chỉ ra một dãy thôi không biết có được điểm không

Mà nếu viết hết các dãy ra thì nhiều quá



#7 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 03-04-2014 - 20:32

$x_{0}=2$ rõ ràng là không nghiệm đúng.

Vậy dãy số thỏa mãn ĐK đề bài là :

$x_{1}=38$ ; $x_{2}=682$ ; $x_{n+2}=18x_{n+1}-x_{n}$

Đặt $x_{n}=p\alpha ^n-q\beta ^n$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=18(p\alpha ^{n+1}-q\beta ^{n+1})-(p\alpha ^n-q\beta ^n)$

$\Rightarrow p\alpha ^{n+2}-q\beta ^{n+2}=p\alpha ^n(18\alpha -1)-q\beta ^n(18\beta -1)$

$\Rightarrow \alpha ,\beta$ là các nghiệm của phương trình $z^2-18z+1=0$

Chọn $\alpha =9+4\sqrt{5}$ ; $\beta =9-4\sqrt{5}$

$x_{1}=38\Rightarrow (9+4\sqrt{5})p-(9-4\sqrt{5})q=38$ (1)

$x_{2}=682\Rightarrow (9+4\sqrt{5})^2p-(9-4\sqrt{5})^2q=682$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow p=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ ; $q=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$

Vậy dãy $x_{n}=\frac{1}{2}\left [ (\sqrt{5}+2)(9+4\sqrt{5})^n-(\sqrt{5}-2)(9-4\sqrt{5})^n \right ]$ thỏa mãn ĐK đề bài.

(Ngoài dãy trên, còn nhiều dãy khác cũng thỏa mãn ĐK đề bài)

Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu



#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-04-2014 - 20:29

Cái dãy này là dãy số hạng tổng quát thôi mà cũng không khác dãy cũ đâu

Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.

Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).

$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$

(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9 anhminhkhon

anhminhkhon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
  • Sở thích:games

Đã gửi 04-04-2014 - 21:02

Khác ở chỗ không có số hạng $x_{0}=2$.

Tiện đây, xin nêu thêm một dãy số khác (cũng tìm được bằng cách tương tự).

$x_{k}=\frac{k^2+15k+60}{2}$ với $k$ là số nguyên từ $1$ đến $4$

(Đây là một dãy số hữu hạn có $4$ số hạng mà tất cả các số hạng của nó đều thỏa mãn ĐK bài toán)

Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy

Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không



#10 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-04-2014 - 21:11

Vậy thì sẽ có rất nhiều dãy

Bạn có thể tìm ra được dãy tổng quát nhất không

Không có dãy tổng quát nhất.Nói cách khác là nếu ta đưa tất cả các số $n$ thỏa mãn ĐK bài toán vào trong một dãy duy nhất (theo một thứ tự nào đó) thì không thể lập được công thức số hạng tổng quát (dãy đó chỉ có thể nêu ra bằng cách ... liệt kê tất cả mọi số hạng)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh