Cho a,b,c thuộc [0;2] ,$a+b+c=3$
Tìm Min của:
$P=\frac{2}{11-a^2-b^2-c^2}-\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+bc+ca+5}$
$P=\frac{2}{11-a^2-b^2-c^2}-\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+bc+ca+5}$
Bắt đầu bởi quanghao98, 18-12-2015 - 21:29
#1
Đã gửi 18-12-2015 - 21:29
quanghao98
-
- Thành viên
-
- 127 Bài viết
Trung sĩ
I've got a dream,the day,I'll catch it,can do...don't never give up...if I dream,I can do it.
All our DREAMS can come true if we have the courage to pursue them.
#2
Đã gửi 20-12-2015 - 19:26
quangtq1998
-
- Thành viên
-
- 192 Bài viết
Trung sĩ
$* (a-2)(b-2)(c-2) \leq 0 \Leftrightarrow abc \leq -4(a+b+c) + 2(ab+bc+ca)= 2(ab+bc+ca) -4 $
$\Rightarrow 2 \leq ab+bc+ca \leq 3 $
$* 11-(a^2+b^2+c^2) = 2+ 2(ab+bc+ca) $
$* a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)[(a+b+c)^2- 3(ab+bc+ca)] = 3abc +27-9(ab+bc+ca) \leq 15 -3(ab+bc+ca) $
$\Rightarrow P \ge \frac{1}{1+ab+bc+ca} +\frac{3(ab+bc+ca) - 15 }{ab+bc+ca+5} $
Đặt $t = ab+bc+ ca $
Xét$ f(t) = \frac{1}{1+t} + \frac{3t-15}{t+5} $
$f'(t) = \frac{30}{(t+5)^2} - \frac{1}{(1+t)^2} > 0 $ với mọi $ 2\leq t \leq 3$
$\Rightarrow f(t) $ đồng biến $\Rightarrow f(t) \ge f(2) = \frac{-20}{21}$
$\Rightarrow P \ge \frac{-20}{21} $
Dấu "=" xảy ra khi $a = 0 ; b=1; c=2$
$\Rightarrow 2 \leq ab+bc+ca \leq 3 $
$* 11-(a^2+b^2+c^2) = 2+ 2(ab+bc+ca) $
$* a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)[(a+b+c)^2- 3(ab+bc+ca)] = 3abc +27-9(ab+bc+ca) \leq 15 -3(ab+bc+ca) $
$\Rightarrow P \ge \frac{1}{1+ab+bc+ca} +\frac{3(ab+bc+ca) - 15 }{ab+bc+ca+5} $
Đặt $t = ab+bc+ ca $
Xét$ f(t) = \frac{1}{1+t} + \frac{3t-15}{t+5} $
$f'(t) = \frac{30}{(t+5)^2} - \frac{1}{(1+t)^2} > 0 $ với mọi $ 2\leq t \leq 3$
$\Rightarrow f(t) $ đồng biến $\Rightarrow f(t) \ge f(2) = \frac{-20}{21}$
$\Rightarrow P \ge \frac{-20}{21} $
Dấu "=" xảy ra khi $a = 0 ; b=1; c=2$
- quanghao98 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
