$P=2015+2(ab+bc+ca)+\frac{243}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
#1
Đã gửi 18-12-2015 - 21:34
- haichau0401 yêu thích
I've got a dream,the day,I'll catch it,can do...don't never give up...if I dream,I can do it.
All our DREAMS can come true if we have the courage to pursue them.
#2
Đã gửi 19-12-2015 - 10:27
A,b,c >0 thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm Min:$P=2015+2(ab+bc+ca)+\frac{243}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$
$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)
$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$
$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)
Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$
Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$
$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)
Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-12-2015 - 10:30
- quanghao98, tpdtthltvp, haichau0401 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 21-12-2015 - 21:09
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$
$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)
$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$
Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$
$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)
Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$
Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$
$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)
Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Anh còn cách nào đễ hơn không,trường em không học BDT Schur
I've got a dream,the day,I'll catch it,can do...don't never give up...if I dream,I can do it.
All our DREAMS can come true if we have the courage to pursue them.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh