Chủ đề này có 2 trả lời

[quanghao98]

A,b,c >0 thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm Min:

$P=2015+2(ab+bc+ca)+\frac{243}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

[Minhnguyenthe333]

 

A,b,c >0 thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm Min:

$P=2015+2(ab+bc+ca)+\frac{243}{(a+b)(b+c)(c+a)+abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

 

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$

$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)

$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$

Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$

$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)

Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$ 

Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$

$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)

Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 19-12-2015 - 10:30

[quanghao98]

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$

$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)

$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$

Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$

$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)

Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$ 

Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$

$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)

Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Anh còn cách nào đễ hơn không,trường em không học BDT Schur