Chủ đề này có 4 trả lời

[quanghao98]

x,y,z là các số thực,$x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.Tìm Min

$P=x^2+y^2+z^2$

[minhrongcon2000]

Ta có:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=1$

$\Rightarrow xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{x+y+z}$

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^{2}-(2P-\frac{1}{x+y+z})$

$\Rightarrow 3P=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\geqslant 3 \Rightarrow P\geqslant 1$

Dấu "=" xảy ra khi x,y,z thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=1\\ x+y+z=1 \end{matrix}\right.$

[Minhnguyenthe333]

 

 

x,y,z là các số thực,$x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.Tìm Min

$P=x^2+y^2+z^2$

 

Từ giả thiết$=>\frac{(x+y+z)^3-1}{3(x+y+z)}=xy+yz+zx$

$=>P=(x+y+z)^2-\frac{2(x+y+z)^3-2}{3(x+y+z)}=t^2+\frac{2t^3-2}{3t}$

Ta có: $P'(t)=\frac{2(t^3-1)}{2t^2}=0<=>t=1$

$=>P\geqslant 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 18-12-2015 - 22:10

[hoangson2598]

 

 

Từ giả thiết$=>\frac{(x+y+z)^3-1}{3(x+y+z)}=xy+yz+zx$

$=>P=(x+y+z)^2-\frac{2(x+y+z)^3-2}{3(x+y+z)}=t^2+\frac{2t^3-2}{3t}$

Ta có: $P'(t)=\frac{2(t^3-1)}{2t^2}=0<=>t=1$

$=>P\geqslant 1$

 

Từ giả thiết$=>\frac{(x+y+z)^3-1}{3(x+y+z)}=xy+yz+zx$

$=>P=(x+y+z)^2-\frac{2(x+y+z)^3-2}{3(x+y+z)}=t^2+\frac{2t^3-2}{3t}$

Ta có: $P'(t)=\frac{2(t^3-1)}{2t^2}=0<=>t=1$

$=>P\geqslant 1$

Nhầm một chút nhỉ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 18-12-2015 - 23:57

[tcqang]

Ta có:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=1$

$\Rightarrow xy+yz+zx=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{x+y+z}$

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^{2}-(2P-\frac{1}{x+y+z})$

$\Rightarrow 3P=(x+y+z)^{2}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\geqslant 3 \Rightarrow P\geqslant 1$

Dấu "=" xảy ra khi x,y,z thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=1\\ x+y+z=1 \end{matrix}\right.$

Bài giải về cơ bản là hoàn toàn đúng. Bổ sung thêm 2 ý nhỏ cho chặt chẽ:

1) BĐT $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$ chỉ đúng khi $a+b+c \geq 0$ (Cauchy cho 3 số chỉ là thu hẹp lại miền xác định khi $a,b,c \geq 0$). Do đó từ giả thiết ta suy ra $x+y+z \ge 0$

2)  Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi (x;y;z)=(0;0;1) và các hoán vị của nó. Còn nếu kết luận chính xác nhất để có maxP đó là:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=1\\ x+y+z=1 \\ \frac{-4}{27} \leq xyz \leq 0   \end{matrix}\right.$