Chủ đề này có 15 trả lời

[buibichlien]

Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

(Các bạn vui lòng không dùng bất đẳng thức hoán vị nhé, ở lớp mình không được dùng cái đó  )

[Viet Hoang 99]

Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

(Các bạn vui lòng không dùng bất đẳng thức hoán vị nhé, ở lớp mình không được dùng cái đó  )

Giả sử $c=min\{a;b;c\}$

$\sum \frac{a}{b}-3=\left ( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2 \right )+\left ( \dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}-1-\dfrac{b}{a} \right )=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}$

Tương tự:

$\sum \dfrac{a+1}{b+1}-3=\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{(a+1)(c+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$

[gianglqd]

 

Giả sử $c=min\{a;b;c\}$

$\sum \frac{a}{b}-3=\left ( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2 \right )+\left ( \dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}-1-\dfrac{b}{a} \right )=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}$

Tương tự:

$\sum \dfrac{a+1}{b+1}-3=\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{(a+1)(c+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$

 

Như có vấn đề bạn ơi chỗ màu đỏ hình như không xảy ra dấu = còn BĐT ban đầu vẫn có

[Viet Hoang 99]

Như có vấn đề bạn ơi chỗ màu đỏ hình như không xảy ra dấu = còn BĐT ban đầu vẫn có

Dấu = không nằm ở chỗ đó, nó nằm ở $a=b$, cho nên mẫu ra sao cũng thế.

[gianglqd]

Dấu = không nằm ở chỗ đó, nó nằm ở $a=b$, cho nên mẫu ra sao cũng thế.

Tất cả biến đổi phía trước của bạn đều là dấu = riêng chỗ đó thì khác, nếu vậy dấu bằng xảy ra tại chỗ đỏ cũng là dấu bằng của BĐT ban dầu chứ bạn. Mà chỗ màu đỏlại không xảy ra dấu =. Mình không hiểu cho lắm mong bạn nói rõ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 19-12-2015 - 20:36

[Viet Hoang 99]

từ sáng tạo bđt ta có dpcm (spam ko z mấy bạn )

Bạn có cách khác à, sao không đăng lên, bạn đang SPAM đấy.

 

 

Tất cả biến đổi phía trước của bạn đều là dấu = riêng chỗ đó thì khác, nếu vậy dấu bằng xảy ra tại chỗ đỏ cũng là dấu bằng của BĐT ban dầu chứ bạn. Mà chỗ màu đỏlại không xảy ra dấu =. Mình không hiểu cho lắm mong bạn nói rõ hơn

Cái dòng thứ nhất mình biến đổi VP

Dòng thứ 2 biến đổi VT.

 

$VP=a$

$VT=b\le a$

Suy ra $VT\le VP$ (dpcm)

[gianglqd]

Bạn có cách khác à, sao không đăng lên, bạn đang SPAM đấy.

 

 

Cái dòng thứ nhất mình biến đổi VP

Dòng thứ 2 biến đổi VT.

 

$VP=a$

$VT=b\le a$

Suy ra $VT\le VP$ (dpcm)

Mình hiểu hướng của bạn ý mình là cái đoạn $b\leq a$ không xảy ra dấu =

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 19-12-2015 - 20:43

[Viet Hoang 99]

Mình hiểu hướng của bạn ý mình là cái đoạn $b\leq a$ không xảy ra dấu =

Mình nói rồi mà. 

 

 

 

$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{(a+1)(c+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Giống kiểu như $x(y-z)=0$ mà đã biết $x=0$ thì $y,z$ thích thế nào cũng được ấy.

 

$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}$

chỉ quan tâm đến tử số, $a-b=0$, mẫu như nào cũng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-12-2015 - 20:47

[Fr13nd]

$\frac{a+1}{b+1} \geq \frac{a}{b}$ 

DE SAI

[gianglqd]

Mình nói rồi mà. 

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Giống kiểu như $x(y-z)=0$ mà đã biết $x=0$ thì $y,z$ thích thế nào cũng được ấy.

$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}$, chỉ quan tâm đến tử số, $a-b=0$, mẫu như nào cũng được.

hiểu rồi cảm ơn bạn nhiều

[gianglqd]

$\frac{a+1}{b+1} \geq \frac{a}{b}$ 

DE SAI

Đề đúng đó bạn

[Fr13nd]

minh nhin nham. sr

[Gachdptrai12]

cách của mình đừng nói spam nghe :v :v )

bđt$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}-\sum \frac{a+1}{b+1}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^{2}}{b(a-b)(b+1)}\geq 0$)giả sử $a\geq b\geq c$ áp dụng S.O.S  thì ra  cách hơi rườm rà nhưng ít cần tính toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-12-2015 - 10:37

[buibichlien]

Mình làm thế này, nhưng hình như là giống cậu trên   
$x\geq y\geq z \rightarrow \frac{1}{x(x+1)}\leq \frac{1}{y(y+1)}\leq \frac{1}{z(z+1)}$
Bất cần chứng minh tương đương với :
$\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{z-y}{z(z+1)}+\frac{x-z}{x(x+1)}\leq 0$
$\leftrightarrow x(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+y(\frac{1}{y(y+1)}-\frac{1}{z(z+1)})+z(\frac{1}{z(z+1)}-\frac{1}{x(x+1)})\leq 0$
$\leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+(y-z)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{z(z+1)})\leq 0$ (luôn đúng theo giả sử).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buibichlien: 20-12-2015 - 19:16

[Gachdptrai12]

hehe cùng chiến hữu nè :v đồng chí :v cách mình rườm ra nhưng ít phải xét trường hợp :v

[Fr13nd]

Phải xét trường hợp. a < b thì chưa chắc $\frac{a+1}{b+1}<\frac{a}{b}$ đâu nhé