Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :
$\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
(Các bạn vui lòng không dùng bất đẳng thức hoán vị nhé, ở lớp mình không được dùng cái đó )
$\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
#1
Đã gửi 19-12-2015 - 19:38
- Viet Hoang 99 yêu thích
#2
Đã gửi 19-12-2015 - 20:10
Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :
$\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
(Các bạn vui lòng không dùng bất đẳng thức hoán vị nhé, ở lớp mình không được dùng cái đó )
Giả sử $c=min\{a;b;c\}$
- gianglqd, quan1234, Minhnguyenthe333 và 1 người khác yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 19-12-2015 - 20:23
Giả sử $c=min\{a;b;c\}$
$\sum \frac{a}{b}-3=\left ( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2 \right )+\left ( \dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}-1-\dfrac{b}{a} \right )=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{ca}$Tương tự:$\sum \dfrac{a+1}{b+1}-3=\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{(a+1)(c+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$
Như có vấn đề bạn ơi chỗ màu đỏ hình như không xảy ra dấu = còn BĐT ban đầu vẫn có
Mabel Pines - Gravity Falls
#4
Đã gửi 19-12-2015 - 20:31
Như có vấn đề bạn ơi chỗ màu đỏ hình như không xảy ra dấu = còn BĐT ban đầu vẫn có
Dấu = không nằm ở chỗ đó, nó nằm ở $a=b$, cho nên mẫu ra sao cũng thế.
- gianglqd yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#5
Đã gửi 19-12-2015 - 20:35
Dấu = không nằm ở chỗ đó, nó nằm ở $a=b$, cho nên mẫu ra sao cũng thế.
Tất cả biến đổi phía trước của bạn đều là dấu = riêng chỗ đó thì khác, nếu vậy dấu bằng xảy ra tại chỗ đỏ cũng là dấu bằng của BĐT ban dầu chứ bạn. Mà chỗ màu đỏlại không xảy ra dấu =. Mình không hiểu cho lắm mong bạn nói rõ hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 19-12-2015 - 20:36
Mabel Pines - Gravity Falls
#6
Đã gửi 19-12-2015 - 20:38
từ sáng tạo bđt ta có dpcm (spam ko z mấy bạn )
Bạn có cách khác à, sao không đăng lên, bạn đang SPAM đấy.
Tất cả biến đổi phía trước của bạn đều là dấu = riêng chỗ đó thì khác, nếu vậy dấu bằng xảy ra tại chỗ đỏ cũng là dấu bằng của BĐT ban dầu chứ bạn. Mà chỗ màu đỏlại không xảy ra dấu =. Mình không hiểu cho lắm mong bạn nói rõ hơn
Cái dòng thứ nhất mình biến đổi VP
Dòng thứ 2 biến đổi VT.
$VP=a$
$VT=b\le a$
Suy ra $VT\le VP$ (dpcm)
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#7
Đã gửi 19-12-2015 - 20:42
Bạn có cách khác à, sao không đăng lên, bạn đang SPAM đấy.
Cái dòng thứ nhất mình biến đổi VP
Dòng thứ 2 biến đổi VT.
$VP=a$
$VT=b\le a$
Suy ra $VT\le VP$ (dpcm)
Mình hiểu hướng của bạn ý mình là cái đoạn $b\leq a$ không xảy ra dấu =
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 19-12-2015 - 20:43
Mabel Pines - Gravity Falls
#8
Đã gửi 19-12-2015 - 20:45
Mình hiểu hướng của bạn ý mình là cái đoạn $b\leq a$ không xảy ra dấu =
Mình nói rồi mà.
$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{(c-a)(c-b)}{(a+1)(c+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Giống kiểu như $x(y-z)=0$ mà đã biết $x=0$ thì $y,z$ thích thế nào cũng được ấy.
$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}$
chỉ quan tâm đến tử số, $a-b=0$, mẫu như nào cũng được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-12-2015 - 20:47
- gianglqd yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#9
Đã gửi 19-12-2015 - 20:45
$\frac{a+1}{b+1} \geq \frac{a}{b}$
DE SAI
LENG KENG...
#10
Đã gửi 19-12-2015 - 20:47
Mình nói rồi mà.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Giống kiểu như $x(y-z)=0$ mà đã biết $x=0$ thì $y,z$ thích thế nào cũng được ấy.
$\dfrac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}\le \dfrac{(a-b)^2}{ab}$, chỉ quan tâm đến tử số, $a-b=0$, mẫu như nào cũng được.
hiểu rồi cảm ơn bạn nhiều
Mabel Pines - Gravity Falls
#11
Đã gửi 19-12-2015 - 20:48
$\frac{a+1}{b+1} \geq \frac{a}{b}$
DE SAI
Đề đúng đó bạn
Mabel Pines - Gravity Falls
#12
Đã gửi 19-12-2015 - 20:53
minh nhin nham. sr
LENG KENG...
#13
Đã gửi 20-12-2015 - 10:33
cách của mình đừng nói spam nghe :v :v )
bđt$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}-\sum \frac{a+1}{b+1}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^{2}}{b(a-b)(b+1)}\geq 0$)giả sử $a\geq b\geq c$ áp dụng S.O.S thì ra cách hơi rườm rà nhưng ít cần tính toán
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 20-12-2015 - 10:37
- gianglqd và buibichlien thích
#14
Đã gửi 20-12-2015 - 19:12
Mình làm thế này, nhưng hình như là giống cậu trên
$x\geq y\geq z \rightarrow \frac{1}{x(x+1)}\leq \frac{1}{y(y+1)}\leq \frac{1}{z(z+1)}$
Bất cần chứng minh tương đương với :
$\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{z-y}{z(z+1)}+\frac{x-z}{x(x+1)}\leq 0$
$\leftrightarrow x(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+y(\frac{1}{y(y+1)}-\frac{1}{z(z+1)})+z(\frac{1}{z(z+1)}-\frac{1}{x(x+1)})\leq 0$
$\leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{y(y+1)})+(y-z)(\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{z(z+1)})\leq 0$ (luôn đúng theo giả sử).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buibichlien: 20-12-2015 - 19:16
#15
Đã gửi 20-12-2015 - 19:56
hehe cùng chiến hữu nè :v đồng chí :v cách mình rườm ra nhưng ít phải xét trường hợp :v
- buibichlien yêu thích
#16
Đã gửi 22-12-2015 - 19:22
Phải xét trường hợp. a < b thì chưa chắc $\frac{a+1}{b+1}<\frac{a}{b}$ đâu nhé
LENG KENG...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh