Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi VMEO IV - Tháng 12

vmeo iv

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chưa có bài trả lời

#1 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 19-12-2015 - 20:33

*
Phổ biến

Đề Thi VMEO IV Tháng 12

Logo_VMF_1.jpg

CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Bài 1.1:

Cho $S$ là một tập các số thực dương, khác rỗng thoả mãn điều kiện: Với mọi $a,b,c\in S$ (không nhất thiết phân biệt) thì $a^3+b^3+c^3-3abc$ là số hữu tỉ.

Chứng minh rằng với mọi $a,b\in S$ thì $\dfrac{a-b}{a+b}$ hữu tỉ.

 

 

Bài 1.2:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $P$ là một điểm trên phân giác góc $BAC$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA, AB$ tại $E,F$. Gọi $EF$ cắt $(O)$ tại $M, N$. Đường thẳng vuông góc với $PM, PN$ lần lượt tại $M,N$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $S,T$ khác $M,N$.

Chứng minh rằng $ST\parallel BC$.

 

 

Bài 1.3:

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c,d$ tạo thành một cấp số cộng (theo đúng thứ tự đó) với $d-c+1$ là số nguyên tố và $$a+b^2+c^3=d^2b$$

 

Chú thích: Một cấp số cộng là một dãy số sao cho bất kỳ hai phần tử liên tiếp đều hơn kém nhau một hằng số.

 

 

Bài 1.4:

Sáu nhà toán học ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi nhà toán học mang trong mình một con số và thực hiện thay đổi các con số này theo quy tắc sau: Ở mỗi lần, hai nhà toán học ngồi cạnh nhau được chọn ra và yêu cầu cộng hai số của họ, mỗi số thêm $1$ đơn vị.

Hỏi rằng nếu theo quy tắc này thì các nhà toán học có thể làm cho sáu con số của họ đều bằng nhau được không? Nếu các con số ban đầu (các số được sắp theo đúng thứ tự như thế trên bàn tròn) là:

 

a) $6,5,4,3,2,1$.

b) $7,5,3,2,1,4$.

 

 

 

Hết đề cấp THCS

 

 

CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bài 2.1:

Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \geqslant k\left|\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\right|\] luôn đúng với mọi số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$.

 

 

Bài 2.2:

Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:

 

a) $n$ có ít nhất $k$ ước nguyên tố phân biệt.

b) Tất cả các ước nguyên tố khác $3$ của $n$ đều có dạng $4t+1$, với $t$ là số nguyên dương nào đó.

c) $n\mid 2^{\sigma (n)}-1$

 

Ở đây ta kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước nguyên dương của $n$.

 

 

Bài 2.3:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là điểm thuộc cung $BC$ không chứa $A$ sao cho $AP$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. $E,F$ lần lượt đối xứng với $P$ qua $CA,AB$. $K$ là đối xứng với $A$ qua $EF$. $L$ là hình chiếu của $K$ trên đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.

Chứng minh rằng $PA=PL$.

 

 

Bài 2.4:

Ta gọi tribi của một số nguyên dương $k$ (ký hiệu là $T(k)$) là số tất cả các cặp $11$ trong biểu diễn nhị phân của $k$. Ví dụ $$T(1)=T(2)=0; T(3)=1; T(4)=T(5)=0; T(6)=1; T(7)=2; \, v.v...$$

Hãy tính \[S_n=\sum_{k=1}^{2^n} T(k)\]

 

 

Hết đề cấp THPT

 

 

Thời hạn gửi bài: Từ 22h00 ngày 20-12-2015 đến 23h59 ngày 09-02-2016.

Thí sinh có thể gửi bài dự thi qua nick vmeovmf trên diễn đàn hoặc qua email [email protected]

 

Xin lỗi mọi người vì sự chậm trễ của đề tháng 12.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 23-12-2015 - 05:17

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh