Chủ đề này có 14 trả lời

[ducvipdh12]

                                                         DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

                            ĐỀ THI MẪU ( Số 1 ) KÌ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016

                                                                        ( Ngày 1 )

BÀi 1 : Tìm $a$ lớn nhất sao cho $3^m \geq  m^3+a, \forall m \in N, m \geq 4$

 

BÀI 2 : Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$  cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi

BÀi 3 : a. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA lấy các điểm P, Q, R tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác APR, BPQ, CQR đồng quy tại một điểm.

b. Cho 4 đường tròn $S_1 ,S_2 ,S_3 ,S_4$ . Giả sử $S_1, S_2$ cắt nhau tại $A_1 , A_2$ ; $S_2 ,S_3$ cắt nhau tại $B_1 ,B_2$ ; $S_3 ,S_4$ cắt nhau tại $C_1 ,C_2$ ; $S_4 ,S_1$ cắt nhau $D_1 ,D_2$ . Chứng minh rằng nếu các điểm $A_1 , B_1 ,C_1 ,D_1$ nằm trên 1 đường tròn S ( hoặc đường thẳng) thì các điểm $A_2 ,B_2 ,C_2 ,D_2$ cũng nằm trên 1 đường tròn ( hoặc đường thẳng).

BÀI 4 : Một dãy có $2015$ phòng, ban đầu trong mỗi phòng có 1 người. Sau mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang phòng kề với phòng mình đang ở nhưng theo $2$ chiều ngược nhau. Hỏi :

 a/ Liệu có một ngày nào đó không có người nào ở trong phòng chẵn hay không?

 b/ Liệu có một ngày nào đó có $1008$ người ở phòng $2015$ được không?

                                                                                          

                                                                                          ( Ngày 2 )

BÀI 5 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(a,b)$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 2 phương trình $x^2+ax+b=0$ và $x^2+2016ax+b=0$ đều có nghiệm nguyên

BÀI 6 : Tìm tất cả các hàm $f:R->R$ thỏa mãn :

$f(y^2)+xf(x-f(y))=f^2(x-y)+xf(y), \forall x,y \in R$

BÀI 7 : Một bữa tiệc được tổ chức tại VMF nhân kỷ niệm sinh nhật lần thứ 6, có tổng cộng $1008$ cặp đôi (cặp đôi được hiểu bao gồm 1 nam và 1 nữ ) đến dự buổi tiệc, ban tổ chức đã chuẩn bị sẵn một cái bàn tròn lớn cùng với $2016$ cái ghế xếp xung quanh bàn tròn đó. Để cho mọi người giao lưu với nhau nên ban tổ chức muốn sắp xếp nam ngồi xen kẽ với nữ và không có cặp đôi nào ngồi cạnh nhau nhưng ban tổ chức vẫn chưa có cách sắp xếp thỏa mãn trong khi thời gian đã gần kề. Khi đó bạn sẽ có những cách nào để giúp ban tổ chức sắp xếp và hãy thử nêu ví dụ một cách cụ thể.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 21-12-2015 - 11:17

[Hoang Nhat Tuan]

 

                                                         DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

                            ĐỀ THI MẪU KÌ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016

                                                                        ( Ngày 1 )

BÀi 1 : Tìm $a$ lớn nhất sao cho $3^m \geq  m^3+a, \forall m \in N, m \geq 4$

 

BÀI 2 : Tam giác ABC với tâm đường tròn nội tiếp $I$. Khi đó 4 đường thẳng Euler của các tam giác BIC, CIA, AIB, ABC đồng quy tại 1 điểm

BÀi 3 : a. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA lấy các điểm P, Q, R tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác APR, BPQ, CQR đồng quy tại một điểm.

b. Cho 4 đường tròn $S_1 ,S_2 ,S_3 ,S_4$ . Giả sử $S_1, S_2$ cắt nhau tại $A_1 , A_2$ ; $S_2 ,S_3$ cắt nhau tại $B_1 ,B_2$ ; $S_3 ,S_4$ cắt nhau tại $C_1 ,C_2$ ; $S_4 ,S_1$ cắt nhau $D_1 ,D_2$ . Chứng minh rằng nếu các điểm $A_1 , B_1 ,C_1 ,D_1$ nằm trên 1 đường tròn S ( hoặc đường thẳng) thì các điểm $A_2 ,B_2 ,C_2 ,D_2$ cũng nằm trên 1 đường tròn ( hoặc đường thẳng).

BÀI 4 : Một dãy có $2015$ phòng, ban đầu trong mỗi phòng có 1 người. Sau mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang phòng kề với phòng mình đang ở nhưng theo $2$ chiều ngược nhau. Hỏi :

 a/ Liệu có một ngày nào đó không có người nào ở trong phòng chẵn hay không?

 b/ Liệu có một ngày nào đó có $1008$ người ở phòng $2015$ được không?

 

Câu 3a chẳng phải là định lý Miquel ạ

-------------------------------------------

@ducvipdh12: thực chất anh thêm câu a cho vui )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 20-12-2015 - 20:32

[Ego]

Bài 1. Ta đi chứng minh $3^m - m^3 \ge 17 \forall m \ge 4$
Thật vậy, với $m = 4$ thì $3^4 - 4^3 = 17$; $m = 5$ thì $3^5 - 5^3 > 17$.
Giả sử $3^m \ge 17 + m^3$. Ta sẽ đi chứng minh $3^{m + 1} \ge 17 + (m + 1)^3$.
Thật vậy, ta có $3^m \ge 17 + m^3 \implies 3^{m + 1} \ge 51 + 3m^3 = 50 + m^3 + 1 + m^3 + m^3 > 50 + m^3 + 1 + 4m^2 + 16m > 50 + (m + 1)^3 > 17 + (m + 1)^3$.
Vậy theo quy nạp ta có $3^m \ge m^3 + 17$. ĐTXR khi $m = 4$. Từ đó GTLN của $a$ là $17$.

[ducvipdh12]

mình đã sửa lại đề ngày 1 và đăng đề ngày 2, mọi người cùng làm thử xem

[gatoanhoc1998]

câu 1 :

gt$\Leftrightarrow$ $a\leq 3^{m}-m^{3} ,\forall m\geq 4$

$\Leftrightarrow a\leq min(3^{m}-m^{3})$ với $m\in \left [ 4;+\infty \right )$

Mặt khác KSH có: Trong $\left [ 4:+\infty \right )$

Min$(3^{m}-m^{3})$$=17$

Do đó gt$\Leftrightarrow a\leq 17$

Vậy Maxa=17

[gatoanhoc1998]

Câu 4:

a, gọi C(n) là số người ở phòng chẵn sau ngày thứ n

          L(n) là số người ở phòng lẻ sau ngày thứ n

Ta có: C(0)=1007

           L(0)=1008

     Lại có bất biến là: 

         $C(n)\equiv C(n-1)\equiv ...\equiv C(0)(mod 2),\forall n\in \mathbb{N}$

         Do C(0)=1 (mod 2) nên $C(n)\equiv 1 (mod 2),\forall n\in \mathbb{N}$

   suy ra không thể có ngày mà không có người ở phòng chẵn

[dangkhuong]

Câu PTH: TH1: $f(x)\equiv 0$ (thoả mãn)

TH2(f(x)$\not\equiv$ 0):Cho $x=y=0$ thì thu được $f(0)=0$.Cho $y=0$ suy ra $f(0)+xf(x-f(0))=f^2(x)+xf(0)$ suy ra $xf(x)=f^2(x)$ suy ra $f(x)=x$.Thử lại thoả mãn vậy PTH có nghiệm $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 23-12-2015 - 23:15

[Ninhduccuong]

Câu PTH: TH1: $f(x)\equiv 0$ (thoả mãn)

TH2(f(x)$\not\equiv$ 0):Cho $x=y=0$ thì thu được $f(0)=0$.Cho $y=0$ suy ra $f(0)+xf(x-f(0))=f^2(x)+xf(0)$ suy ra $xf(x)=f^2(x)$ suy ra $f(x)=x$.Thử lại thoả mãn vậy PTH có nghiệm $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$

cho x=0, y=0 thì suy ra f(0)=f²(0) => hoặc f(0)=0 hoặc f(0)=1 chứ bạn

[ducvipdh12]

Câu PTH: TH1: $f(x)\equiv 0$ (thoả mãn)

TH2(f(x)$\not\equiv$ 0):Cho $x=y=0$ thì thu được $f(0)=0$.Cho $y=0$ suy ra $f(0)+xf(x-f(0))=f^2(x)+xf(0)$ suy ra $xf(x)=f^2(x)$ suy ra $f(x)=x$.Thử lại thoả mãn vậy PTH có nghiệm $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$

sai rồi nhé, bài này không dễ đâu

[superpower]

 

                                                         DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

                            ĐỀ THI MẪU ( Số 1 ) KÌ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2016

                                                                        ( Ngày 1 )

BÀi 1 : Tìm $a$ lớn nhất sao cho $3^m \geq  m^3+a, \forall m \in N, m \geq 4$

 

BÀI 2 : Cho AB cố định. Với mỗi điểm M không nằm trên AB, tia phân giác trong $\widehat{AMB}$  cắt (AB) tại N, tia phân giác ngoài $\widehat{AMB}$ cắt NA,NB tại P,Q. (NQ)$\cap$MA={M,R}, (NP)$\cap$MB={M,S}. Cmr đường trung tuyến ứng với đỉnh N của $\bigtriangleup$NRS luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi

BÀi 3 : a. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng AB, BC, CA lấy các điểm P, Q, R tương ứng. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của tam giác APR, BPQ, CQR đồng quy tại một điểm.

b. Cho 4 đường tròn $S_1 ,S_2 ,S_3 ,S_4$ . Giả sử $S_1, S_2$ cắt nhau tại $A_1 , A_2$ ; $S_2 ,S_3$ cắt nhau tại $B_1 ,B_2$ ; $S_3 ,S_4$ cắt nhau tại $C_1 ,C_2$ ; $S_4 ,S_1$ cắt nhau $D_1 ,D_2$ . Chứng minh rằng nếu các điểm $A_1 , B_1 ,C_1 ,D_1$ nằm trên 1 đường tròn S ( hoặc đường thẳng) thì các điểm $A_2 ,B_2 ,C_2 ,D_2$ cũng nằm trên 1 đường tròn ( hoặc đường thẳng).

BÀI 4 : Một dãy có $2015$ phòng, ban đầu trong mỗi phòng có 1 người. Sau mỗi ngày có 2 người nào đó chuyển sang phòng kề với phòng mình đang ở nhưng theo $2$ chiều ngược nhau. Hỏi :

 a/ Liệu có một ngày nào đó không có người nào ở trong phòng chẵn hay không?

 b/ Liệu có một ngày nào đó có $1008$ người ở phòng $2015$ được không?

                                                                                          

                                                                                          ( Ngày 2 )

BÀI 5 : Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(a,b)$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn 2 phương trình $x^2+ax+b=0$ và $x^2+2016ax+b=0$ đều có nghiệm nguyên

BÀI 6 : Tìm tất cả các hàm $f:R->R$ thỏa mãn :

$f(y^2)+xf(x-f(y))=f^2(x-y)+xf(y), \forall x,y \in R$

BÀI 7 : Một bữa tiệc được tổ chức tại VMF nhân kỷ niệm sinh nhật lần thứ 6, có tổng cộng $1008$ cặp đôi (cặp đôi được hiểu bao gồm 1 nam và 1 nữ ) đến dự buổi tiệc, ban tổ chức đã chuẩn bị sẵn một cái bàn tròn lớn cùng với $2016$ cái ghế xếp xung quanh bàn tròn đó. Để cho mọi người giao lưu với nhau nên ban tổ chức muốn sắp xếp nam ngồi xen kẽ với nữ và không có cặp đôi nào ngồi cạnh nhau nhưng ban tổ chức vẫn chưa có cách sắp xếp thỏa mãn trong khi thời gian đã gần kề. Khi đó bạn sẽ có những cách nào để giúp ban tổ chức sắp xếp và hãy thử nêu ví dụ một cách cụ thể.

 

Bài $6$

Thay $x=0, y=0 => f(0)=1; f(0)=0$

TH1: $f(0)=0$

Thay $y=0 => xf(x)=f^2(x) $

Dễ thấy $f(x)=0$ thỏa yêu cầu bài toán

Xét $f(x)$ khác $0 => f(x)=x$

TH2: $f(0)=1$

Thay $y=0 => 1+xf(x-1)=f^2(x)+x (1)$

Thay $x=1 => f(1)=1; f(1)=-1   (*)$

Thay $x=0$ vào pt đầu : $=>f(y^2)=f^2(-y)=f^2(y)$

Thay $y=1 => f^2(1)=f(1) => f(1)=0; f(1)=1 (**)$

Từ $(*)(**) => f(1)=1 $

Thay $y=1 => 1+xf(x-1)=f^2(x-1)+x (2)$

Suy ra $f^2(x)=f^2(x-1) $

Thay $x-> f(y) => f(y^2) + f(y)=f^2(f(y)-y) + f^2(y) => f(y)=f^2(f(y)-y) \geq 0 $ với mọi $ y$

Mặt khác từ $(1),(2) => f^2(x-1)=f^2(x) => f(x-1)=f(x) (3)$

Thay $(3)$ vào $(1) => 1+xf(x)=f^2(x) +x => f^2(x) - xf(x) +x-1=0 => f(x)=x-1; f(x)=1$

Vậy $f(x)=0; f(x)=x; f(x)=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 26-12-2015 - 12:01

[canhhoang30011999]

Bài $6$

Thay $x=0, y=0 => f(0)=1; f(0)=0$

TH1: $f(0)=0$

Thay $y=0 => xf(x)=f^2(x) $

Dễ thấy $f(x)=0$ thỏa yêu cầu bài toán

Xét $f(x)$ khác $0 => f(x)=x$

TH2: $f(0)=1$

Thay $y=0 => 1+xf(x-1)=f^2(x)+x (1)$

Thay $x=1 => f(1)=1; f(1)=-1   (*)$

Thay $x=0$ vào pt đầu : $=>f(y^2)=f^2(-y)=f^2(y)$

Thay $y=1 => f^2(1)=f(1) => f(1)=0; f(1)=1 (**)$

Từ $(*)(**) => f(1)=1 $

Thay $y=1 => 1+xf(x-1)=f^2(x-1)+x (2)$

Suy ra $f^2(x)=f^2(x-1) $

Thay $x-> f(y) => f(y^2) + f(y)=f^2(f(y)-y) + f^2(y) => f(y)=f^2(f(y)-y) \geq 0 $ với mọi $ y$

Mặt khác từ $(1),(2) => f^2(x-1)=f^2(x) => f(x-1)=f(x) (3)$

Thay $(3)$ vào $(1) => 1+xf(x)=f^2(x) +x => f^2(x) - xf(x) +x-1=0 => f(x)=x-1; f(x)=1$

Vậy $f(x)=0; f(x)=x; f(x)=1$

mấy chỗ bôi đỏ bạn (anh) xét thiếu TH rồi

[superpower]

mấy chỗ bôi đỏ bạn (anh) xét thiếu TH rồi

Sao thiếu bạn, nhờ bạn chỉ giáo

[canhhoang30011999]

Sao thiếu bạn, nhờ bạn chỉ giáo

ví dụ ở th1 thì ta có hàm sau vẫn thỏa mãn $f(x)^{2}=xf(x)$

f(1)=0 f(x)=x với x khác 1

[superpower]

ví dụ ở th1 thì ta có hàm sau vẫn thỏa mãn $f(x)^{2}=xf(x)$

f(1)=0 f(x)=x với x khác 1

Mình còn cách khác vẫn chỉ ra được, mà hơi dài, sẽ không bị lỗi này

Nhưng mà bạn nhìn là đi, do $f(x)$ không đồng nhất $0$ => f đơn ánh, Do đó không có trường hợp của bạn

P/S: mình có sai xin bạn chỉ thêm

[baopbc]

Lời giải của mình:

$P(0;0)\Rightarrow f(0)=f^{2}(0)\Rightarrow f(0)=0;f(0)=1$

f(0)=0; $P(x;0)\Rightarrow f^{2}(x)=xf(x)\Leftrightarrow f(x)=0;f(x)=x$

Ta chứng minh không tồn tại hai số a,b khác 0 nào đồng thời thỏa mãn $f(a)=0; f(b)=b$

$P(b;a)\Rightarrow b^{2}+f(a^{2})=f^{2}(b-a)$

+)$f(a^{2})=0\Rightarrow b^{2}=f^{2}(b-a)$(vô lí)

+)$f(a^{2})=a^{2}\Rightarrow b^{2}+a^{2}=f^{2}(b-a)$(vô lí)

Vậy không tồn tại hai số a,b khác 0 nào đồng thời thỏa mãn $f(a)=0: f(b)=b$

$\Rightarrow f(x)=x;f(x)=0$(thỏa mãn)

f(0)=1. $P(1;0)\Rightarrow 1=f^{2}(1)+1\Rightarrow f(1)=0$

$P(1;1)\Rightarrow f^{2}(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0$(mâu thuẫn)

Vậy có hai hàm thỏa:$f(x)=x;f(x)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-12-2015 - 22:15