2 replies to this topic

[Zaraki]

Cho đường thẳng $(d): y=x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

1. Chứng minh rằng mọi đường tròn có tâm $I$ thuộc $(d)$ và bán kính $\dfrac{1}{8}$ đều không chứa bất cứ điểm nguyên nào.
2. Tìm số dương $k$ lớn nhất sao cho khoảng cách từ mọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường thẳng $d$ đều không nhỏ hơn $k$.

Edited by Zaraki, 21-12-2015 - 14:26.

[tpdtthltvp]

Mặc dù hết hạn rồi nhưng em mới học nên cũng thử sức làm phần $(1),$ đúng sai mọi người cứ ném đá. 

Bài toán có thể phát biểu lại: Mọi đường thẳng $y=x+n$ với $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ không đi qua bất kì iểm nguyên nào hay phương trình $y=x+n$ không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x_0,y_0$) thì $x_0,y_0\in \mathbb{Z}$ và $y_0=x_0+n$ suy ra $n\in \mathbb{Z}$ mà $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ nên $n\notin \mathbb{Z}.$

Vậy ta có đpcm.

[phuocchubeo]

Mặc dù hết hạn rồi nhưng em mới học nên cũng thử sức làm phần $(1),$ đúng sai mọi người cứ ném đá. 

Bài toán có thể phát biểu lại: Mọi đường thẳng $y=x+n$ với $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ không đi qua bất kì iểm nguyên nào hay phương trình $y=x+n$ không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(x_0,y_0$) thì $x_0,y_0\in \mathbb{Z}$ và $y_0=x_0+n$ suy ra $n\in \mathbb{Z}$ mà $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$ nên $n\notin \mathbb{Z}.$

Vậy ta có đpcm.

Bạn à, bài này mình cũng nghĩ nên cho tất cả các điểm trong đường tròn của đề bài vào trong khoảng giữa hai đoạn thẳng song song và cùng cách đều đường thẳng $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ một khoảng bằng $\frac{1}{8}$. Thế nhưng có vẻ như cách tính của bạn hơi "đơn giản" quá. Vì mình cũng mới học về vấn đề này nên xin mạn phép nêu cách chặn $n$ như sau:

Đầu tiên ta thấy điểm $A(0;\frac{1}{\sqrt{2}})\in$ đồ thị hàm số.

Ta sẽ tìm điểm $B$ thuộc đường thẳng $y=a'x+b'$ vuông góc với đường thẳng đã cho và cách $A$ một khoảng bằng $\frac{1}{8}$.

- Tìm đường thẳng $y=a'x+b'$:

Có đường thẳng này vuông góc với $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $a\times a'=-1\Rightarrow a'=-1\Rightarrow y=-x+b'$ mà  $A(0;\frac{1}{\sqrt{2}})$ thuộc đường thẳng nên $\frac{1}{\sqrt{2}}=-0+b'\Rightarrow b'=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đó ta có đường thẳng có phương trình :$y=-x+\frac{1}{\sqrt{2}}$.

-Tìm điểm $B$

Ta có tọa độ của điểm $B$ sẽ là $(x;-x+\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Có $AB=\frac{1}{8}$ nên $\sqrt{(x-0)^{2}+(-x+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \begin{bmatrix} x =\frac{1}{8\sqrt{2}}\\ x =\frac{-1}{8\sqrt{2}} \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{9}{8\sqrt{2}}\\ y=\frac{7}{8\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

Ta có hai đường thẳng song song với $y=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$ chứa $C(\frac{1}{8\sqrt{2}};\frac{9}{8\sqrt{2}})$ và $D(\frac{-1}{8\sqrt{2}};\frac{7}{8\sqrt{2}})$ chính là hai biên của khoảng cần tìm.

Ta tính ra được hai đoạn thẳng đó là $y=x+\frac{3}{4\sqrt{2}}$ và $y=x+\frac{5}{4\sqrt{2}}$.

Như vậy $\frac{3}{4\sqrt{2}}\leq n \leq \frac{5}{4\sqrt{2}}$ chứ không phải là  $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\leq n\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{8}$  nha.

 

À mà mình cũng đang theo đội tuyển toán ở Hải Dương. Ở đây thì ít tấm gương lắm. Cho mình làm quen trao đổi kinh nghiệm được không?