Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[Đại số] THPT tháng 11: Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \leqslant (k^2+1)(ab+bc+ca)$

vmeo vmeo iv

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 21-12-2015 - 14:25

Với $k \geqslant 0$ cho trước và $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương sao cho \[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = (k+1)^2 + \frac{2}{k+1}\]
Chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2 \leqslant (k^2+1)(ab+bc+ca)\]
 

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Mai Thanh Binh

Mai Thanh Binh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Long An
  • Sở thích:đi chơi

Đã gửi 24-12-2015 - 22:27

Ta luôn có k >=0. 
VÌ a^2 +b^2+c^2 <= ab+bc+ca   (Chứng minh theo cauchy được)

mặt khác ab+bc+ca <= (k^2+1)(ab+bc+ca)   (do k^2 >0)

Vậy suy ra điều cần chứng minh.

(có cảm giác giả thuyết  cho trước hơi thừa.... ) 



#3 gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Xem sách

Đã gửi 24-12-2015 - 22:53

Ta luôn có k >=0. 
a^2 +b^2+c^2 <= ab+bc+a  c (Chứng minh theo cauchy được)

mặt khác ab+bc+ca <= (k^2+1)(ab+bc+ca)   (do k^2 >0)

Vậy suy ra điều cần chứng minh.

(có cảm giác giả thuyết  cho trước hơi thừa.... ) 

Ngược dấu rồi! Không dễ thế đâu  :icon6:



#4 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-12-2015 - 16:40

Đặt $k+1=t$ ( $t\geq 1$). Khi đó $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=(k+1)^2+\frac{2}{k+1}=t^2+\frac{2}{t}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 
$a^2+b^2+c^2\leq (t^2-2t+2)(ab+bc+ac)$
 
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2t-\frac{2}{t}+2)(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow (2t+\frac{2}{t}+1)\leq 4(ab+bc+ac)+\frac{ab^2}{c}+\frac{bc^2}{a}+\frac{ca^2}{b}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(b-c)}{c}-\frac{2(t-1)^2(ab+bc+ac)}{t}\geq 0$ $(\star)$
Mặt khác từ điều kiện đề bài $\Rightarrow \frac{a-b}{b}+\frac{b-c}{c}+\frac{c-a}{a}=\frac{(t-1)^2(t+2)}{t}$
Thay vào $(\star)$, ta sẽ đi chứng minh :
$ab(b-c)(tab-2ac-2bc)+bc(c-a)(tbc-2ab-2ac)+ac(a-b)(tac-2ab-2bc)\geq 0$
..................
 
Đến bước này thì mình chẳng biết xử lý ra sao nữa. Bước làm tiếp theo cảm giác không chặt chẽ. 
Kiểu bài BĐT này nhìn lạ hoắc luôn, không biết do ai ra đề nhỉ?
Tiện thể mod cho mình hỏi khi nào thì công bố đáp án của bài?


#5 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 14:37

Đến bước này thì mình chẳng biết xử lý ra sao nữa. Bước làm tiếp theo cảm giác không chặt chẽ. 

Kiểu bài BĐT này nhìn lạ hoắc luôn, không biết do ai ra đề nhỉ?
Tiện thể mod cho mình hỏi khi nào thì công bố đáp án của bài?

 

 

Câu này do mình đề nghị, trường hợp $k=0$ thì bài toán hiển nhiên vì nó trở thành đẳng thức. Khi $k=1$ thì điều kiện trở thành \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5.\]

Ta cần chứng minh $a^2+b^2+c^2 \leqslant 2(ab+b+ca).$ Đây là một bất đẳng thức khá hay của anh Võ Quốc Bá Cẩn, bài toán trên được mình tổng quát từ bài này.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6 Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-12-2015 - 15:47

Câu này do mình đề nghị, trường hợp $k=0$ thì bài toán hiển nhiên vì nó trở thành đẳng thức. Khi $k=1$ thì điều kiện trở thành \[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5.\]

Ta cần chứng minh $a^2+b^2+c^2 \leqslant 2(ab+b+ca).$ Đây là một bất đẳng thức khá hay của anh Võ Quốc Bá Cẩn, bài toán trên được mình tổng quát từ bài này.

Anh ơi anh CM trường hợp $k=1$ được không ạ?

Với lại, nếu $k\in (0,1)$ thì CM như thế nào ạ?



#7 quykhtn-qa1

quykhtn-qa1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 01-01-2016 - 16:54

 

Với $k \geqslant 0$ cho trước và $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương sao cho \[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = (k+1)^2 + \frac{2}{k+1}\]
Chứng minh rằng \[a^2+b^2+c^2 \leqslant (k^2+1)(ab+bc+ca)\]

 

Bài toán trên thể chứng minh nhờ kết quả sau:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Đặt $ab+bc+ca=q$ $ (1 \geq 3q >0)$, khi đó \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6.\]

Tiếp tục đặt $\sqrt{\dfrac{1-3q}{q}}=x \geq 0,$ ta đánh giá \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{x^3+3x^2+3x+3}{x+1}=(x+1)^2+\dfrac{2}{x+1}.\qquad (1)\] Từ đây kết hợp với giả thiết, ta thu được \[(k+1)^2+\dfrac{2}{k+1} \geq (x+1)^2+\dfrac{2}{x+1}.\] Suy ra $k\geq x$. Từ đây, ta \[k^2 \geq \dfrac{1-3q}{q}=\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\] \[\Longleftrightarrow (k^2+1)(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2.\]
P/S. Đánh giá $(1)$ một kết quả đã khá quen thuộc trên AoPS lẽ bài toán này được xây dựng từ đánh giá trên. Trong các bài toán tìm hằng số tốt nhất (ở dưới đây), thì đánh giá $(1)$ một kết quả khá hữu ích giúp cho việc chứng minh trở nên khá đơn giản. Nếu thời gian, mình sẽ viết một chuyên đề về ứng dụng của bất đẳng thức này giới thiệu cho mọi người.

Bài 1. Cho $k_0=3\left(1+\sqrt[3]{2}\right)^2$. Chứng minh rằng $k$ hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $ a,b,c $ \[ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \sqrt{\dfrac{k(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}-k+9}.\]
Bài 2. Cho $k_0=3\sqrt[3]{4}-2$. Chứng minh rằng $k=k_0$ hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $ a,b,c $ \[ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{k(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 3+k.\]
Bài 3. Cho $k_0=3\sqrt[3]{2}-3$. Chứng minh rằng $k=k_0$ hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $ a,b,c $ \[ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+k \geq \dfrac{(3k+9)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}.\]

Bài 4. Cho $k_0=6$. Chứng minh rằng $k=k_0$ hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $ a,b,c $ \[ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+k\left[\dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}-\dfrac{1}{3}\right].\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quykhtn-qa1: 01-01-2016 - 17:00


#8 maituananh343

maituananh343

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Đã gửi 03-01-2016 - 12:57

Bài toán trên thể chứng minh nhờ kết quả sau:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Đặt $ab+bc+ca=q$ $ (1 \geq 3q >0)$, khi đó \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6.\

 bn cho mình hỏi lm sao đặt đc a+b+c=1 vậy



#9 mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hải Dương

Đã gửi 27-01-2016 - 19:25

 bn cho mình hỏi lm sao đặt đc a+b+c=1 vậy

cậu có thể vào link này để xem: http://diendantoanho...fracbcdfracca/ 

:D  :D


Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh