Trong một kì thi, $60$ thí sinh phải giải $3$ bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với $2$ thí sinh bất kỳ luôn có ít nhất $1$ bài toán mà cả $2$ thí sinh đó đều giải được. Chứng minh:
$a)$ Nếu có $1$ bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có $1$ bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
$b)$ Có $1$ bài toán mà có ít nhất $40$ thí sinh giải được.
b) Gọi 3 bài toán đó lần lượt là $A,B,C$
Theo đề bài mỗi thí sinh giải ít nhất 1 bài toán.
- Nếu có 1 thí sinh giải đc duy nhất 1 bài toán,ta xét thí sinh đó với các thí sinh khác thì 60 thí sinh đều làm được bài toán đó.
- Nếu mỗi thí sinh giải ít nhất 2 bài toán: Gọi số thí sinh ko giải được bài toán A là a, thí sinh ko giải được bài B là b, số thí sinh ko giải được bài C là c, số thí sinh giải được cả 3 bài toán là d.
$=>a+b+c+d=60$
Giả sử ko có bài toán mà ít nhất 40 thí sinh giải được:
$a+b+d($số thí sinh giải được bài toán $C) <40$
$a+c+d($số thí sinh giải được bài toán $B)<40$
$b+c+d($số thí sinh giải được bài toán $A) <40$
Từ đó ta có: $a+b+d+a+c+d+b+c+d<120$
$<=>2(a+b+c+d)+d<120$
$<=>2.60+d<120<=>d<0$(vô lí)
Vậy có 1 bài toán ít nhất 40 thí sinh giải được.
Đừng bao giờ nghĩ rằng bạn đã biết tất cả mọi điều. Và dù người ta có đánh giá bạn cao đến đâu đi nữa, bạn vẫn phải luôn có dũng cảm tự nhủ: ta là một kẻ dốt nát. Đừng để lòng kiêu ngạo xâm chiếm lấy bạn. Vì nó bạn có thể bướng bỉnh ở chỗ cần phải tán thành, vì nó, bạn sẽ từ chối lời khuyên có ích và sự giúp đỡ thân ái, vì nó bạn sẽ mất mức độ khách quan.