Chủ đề này có 2 trả lời

[quangtq1998]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 3 $ Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge a^2 + b^2 +c^2 $

[royal1534]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 3 $ Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge a^2 + b^2 +c^2 $

Vì $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} $

Nên ta chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow \frac{3}{abc} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\leftrightarrow 3 \geq abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với nhận xét $abc(a+b+c) \leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$ ta có: 

$abc(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{9}.(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)^{3}}{27.9}=\frac{(a+b+c)^{6}}{27.9}=3$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[KietLW9]

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học