Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

​$\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\leq \frac{3}{19}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Thao Meo

Thao Meo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Nam
  • Sở thích:Thích ăn và học toán

Đã gửi 21-12-2015 - 22:14

1) Cho x, y,z > 0 thỏa mãn xy+yz+xz=1 . Chứng minh 
$x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+ z(1-x^2)(1-y^2)\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}$
2) Cho a , b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc . Chứng minh 
$\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\leq \frac{3}{19}$


:icon11:  Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức :ukliam2:  :ukliam2: 


#2 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 22-12-2015 - 11:49

ta có từ giả thuyết $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

bđt trở thành $\sum \frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}}\leq \frac{3}{19}$ áp dụng AM-GM ta có

$V\leq \sum \frac{1}{1+\frac{2}{xy}}$ $= \sum \frac{2}{2+xy}$(*)

$\frac{t}{t+2}-\frac{162}{361}t+\frac{1}{361}= -\frac{2(9t-1)^{2}}{361(t+2)}\leq 0$ 

$\Leftrightarrow \frac{t}{t+2}\leq \frac{162}{361}t+\frac{1}{361} $\Leftrightarrow$(*)\leq \frac{161}{361}(xy+yz+xz)+\frac{3}{361}\leq \frac{64}{361}(x+y+z)^{2}+\frac{3}{361}= \frac{3}{19}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 22-12-2015 - 14:54


#3 anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán Quốc Học Huế (Y Dược Huế)
  • Sở thích:Đọc sách, nghiên cứu tâm lí học, xem anime, manga, light novel, đọc tiểu thuyết, du lịch,...và trên hết là tình yêu với toán.

Đã gửi 28-12-2015 - 23:15

Bài 1: Đặt $p=a+b+c;  q=ab+bc+ca=1;  r=abc$

Nhân ra phá ngoặc ta thu được BĐT tương đương: 

$VT=4r\leq \frac{4\sqrt{3}}{9}<=>r\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Hiển nhiên vì  $1=q\geq 3\sqrt[3]{r^2}$ <=>$r\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 28-12-2015 - 23:17

:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 


#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 30-12-2015 - 11:48

hì hì mình tìm ra cái số 162/361 mất mất triệu nơron rồi :v






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh