Đến nội dung

Hình ảnh

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$

* * * * * 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
1) Cho $a,b,c>0$. Cmr:
$$2\left ( \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right )+3(a+b+c)\ge \dfrac{15(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
3) Cho $a,b,c\ge 0$. Cmr:
$$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^2+8b^2}}\ge \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$$


#2
PhanLocSon

PhanLocSon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Có mùi holder


Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)


#3
longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

 

 
2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
 

 

Tương tự ta cũng có

Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

 

$$\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^2}{9}}$$ (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng)



#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

4) Cho $a,b,c$ là các số thực. Cm

$$(a^2+b^2+c^2)^3\ge \dfrac{108}{5}a^2b^2c^2+2(a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

5) Cho $a,b,c$ dương. Cm

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \sqrt[6]{\dfrac{a^6+b^6+c^6}{3}}$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-12-2015 - 20:46


#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 

1) Cho $a,b,c>0$. Cmr:
$$2\left ( \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right )+3(a+b+c)\ge \dfrac{15(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$

 

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{37(a^2+b^2+c^2)-19(ab+bc+ac)}{6(a+b+c)}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Tương tự ta cũng có

Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

 

$$\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^2}{9}}$$ (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng)

 

Bài này thì dùng bất đẳng thức Holder kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc \[(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a).\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$

 

Đặt $p=a+b+c,\,q=ab+bc+ca$ ta có kết quả sau \[\frac{3p^4+p^2q-21q^2}{3pq} \geqslant 3\sqrt[6]{\frac{a^6+b^6+c^6}{3}}.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 04-01-2016 - 18:54

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

Bài này thì dùng bất đẳng thức Holder kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc \[(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a).\]

 

cho em hỏi là dùng holder với bộ số đúp bồ (1,1,1) với VT hả hay là với bộ mấy ạ :))) @@



#9
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

cho em hỏi là dùng holder với bộ số đúp bồ (1,1,1) với VT hả hay là với bộ mấy ạ :))) @@

 

Đánh giá như vầy

 

\[\left ( \frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a} \right )^3(a^9b^3+b^9c^3+c^9a^3) \geqslant (a^6+b^6+c^6)^4.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#10
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

 

:like  :like  :like

 

3) Cho $a,b,c\ge 0$. Cmr:
$$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^2+8b^2}}\ge \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$$

 

Bài này anh tính sao ạ?



#11
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

4) Cho $a,b,c$ là các số thực. Cm

$$(a^2+b^2+c^2)^3\ge \dfrac{108}{5}a^2b^2c^2+2(a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

5) Cho $a,b,c$ dương. Cm

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \sqrt[6]{\dfrac{a^6+b^6+c^6}{3}}$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

bài 4 đặt (a-b)=x,(b-c)=y,(c-a)=-x-y vì bậc 2 nên có thể dồn biến tại biên rất tốt để giải quyết cac bài toán này



#12
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 4 em làm hơi dài chút nên em chỉ nói ý tưởng.

Thấy rằng khi thay $a,b,c$ bởi đối của chúng thì bất đẳng thức không đổi. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp $b,c\geqslant 0$

Nếu $a\geqslant 0$ thì do $\dfrac{108}{5}<27$ nên ta chỉ cần xét bất đẳng thức khi $a=0, b=1$

Nếu $a\leqslant 0$ thì ta chuẩn hóa $a=-1$, đặt $x=b+c$ và $y=bc$

Đến đây khảo sát theo $y$ và cũng khá cực.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh