Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 22-12-2015 - 19:56

1) Cho $a,b,c>0$. Cmr:
$$2\left ( \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right )+3(a+b+c)\ge \dfrac{15(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
3) Cho $a,b,c\ge 0$. Cmr:
$$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^2+8b^2}}\ge \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$$


#2 PhanLocSon

PhanLocSon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hưng Yên
  • Sở thích:Học và Chơi

Đã gửi 22-12-2015 - 21:33

Có mùi holder


Cuộc đời vốn không công bằng, vì thế hãy tự làm quen với nó.(nói thế thôi)


#3 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết

Đã gửi 23-12-2015 - 16:40

 

 
2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$
(Võ Quốc Bá Cẩn)
 

 

Tương tự ta cũng có

Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

 

$$\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^2}{9}}$$ (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng)



#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 31-12-2015 - 20:16

4) Cho $a,b,c$ là các số thực. Cm

$$(a^2+b^2+c^2)^3\ge \dfrac{108}{5}a^2b^2c^2+2(a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

5) Cho $a,b,c$ dương. Cm

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \sqrt[6]{\dfrac{a^6+b^6+c^6}{3}}$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-12-2015 - 20:46


#5 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 21:39

 

1) Cho $a,b,c>0$. Cmr:
$$2\left ( \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \right )+3(a+b+c)\ge \dfrac{15(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$$

 

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng \[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{37(a^2+b^2+c^2)-19(ab+bc+ac)}{6(a+b+c)}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 21:50

Tương tự ta cũng có

Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

 

$$\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^2}{9}}$$ (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng)

 

Bài này thì dùng bất đẳng thức Holder kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc \[(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a).\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 22:00

2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:
$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$

 

Đặt $p=a+b+c,\,q=ab+bc+ca$ ta có kết quả sau \[\frac{3p^4+p^2q-21q^2}{3pq} \geqslant 3\sqrt[6]{\frac{a^6+b^6+c^6}{3}}.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 04-01-2016 - 18:54

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#8 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 01-01-2016 - 00:07

Bài này thì dùng bất đẳng thức Holder kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc \[(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a).\]

 

cho em hỏi là dùng holder với bộ số đúp bồ (1,1,1) với VT hả hay là với bộ mấy ạ :))) @@



#9 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2016 - 13:19

cho em hỏi là dùng holder với bộ số đúp bồ (1,1,1) với VT hả hay là với bộ mấy ạ :))) @@

 

Đánh giá như vầy

 

\[\left ( \frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a} \right )^3(a^9b^3+b^9c^3+c^9a^3) \geqslant (a^6+b^6+c^6)^4.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#10 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 01-01-2016 - 16:38

 

:like  :like  :like

 

3) Cho $a,b,c\ge 0$. Cmr:
$$\sqrt{\dfrac{a^3}{b^2+8c^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{c^2+8a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{a^2+8b^2}}\ge \sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}}$$

 

Bài này anh tính sao ạ?



#11 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 02-01-2016 - 23:16

4) Cho $a,b,c$ là các số thực. Cm

$$(a^2+b^2+c^2)^3\ge \dfrac{108}{5}a^2b^2c^2+2(a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

5) Cho $a,b,c$ dương. Cm

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge \sqrt[6]{\dfrac{a^6+b^6+c^6}{3}}$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

bài 4 đặt (a-b)=x,(b-c)=y,(c-a)=-x-y vì bậc 2 nên có thể dồn biến tại biên rất tốt để giải quyết cac bài toán này



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-01-2016 - 10:26

Bài 4 em làm hơi dài chút nên em chỉ nói ý tưởng.

Thấy rằng khi thay $a,b,c$ bởi đối của chúng thì bất đẳng thức không đổi. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp $b,c\geqslant 0$

Nếu $a\geqslant 0$ thì do $\dfrac{108}{5}<27$ nên ta chỉ cần xét bất đẳng thức khi $a=0, b=1$

Nếu $a\leqslant 0$ thì ta chuẩn hóa $a=-1$, đặt $x=b+c$ và $y=bc$

Đến đây khảo sát theo $y$ và cũng khá cực.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh