Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phan Đăng Lưu-Yên Thành-Nghệ An
  • Sở thích:GÁI

Đã gửi 22-12-2015 - 22:33

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#2 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 22-12-2015 - 22:59

Tham khảo bài 2 tại đây nhé


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-12-2015 - 07:53

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.

Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $

Theo giả thiết, $=> p+r=4 => r=4-p$ , dễ suy ra $p \geq 3$

Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có

$p^3 - 4pq + 9r \geq 0 => p^3 -4pq + 9(4-p) \geq 0 =>  p^3 +36 - 9p \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q $

Ta cần chứng minh $p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}  <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4 $

Mà TH $p \geq 4$ thì vô lý do $p+r=4 $

Vậy ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 23-12-2015 - 07:54


#4 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 23-12-2015 - 08:22

bài này vẫn đúng khi đổi điều kiện thành ab+bc+ac+abc=4 và khi đổi điều kiện thành a+b+c+1=4abc thì bất đẳng thức ngược lại tức là

ab+bc+ac $\geq$ a+b+c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 23-12-2015 - 10:11


#5 manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phan Đăng Lưu-Yên Thành-Nghệ An
  • Sở thích:GÁI

Đã gửi 28-12-2015 - 18:48

Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r $

Theo giả thiết, $=> p+r=4 => r=4-p$ , dễ suy ra $p \geq 3$

Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có

$p^3 - 4pq + 9r \geq 0 => p^3 -4pq + 9(4-p) \geq 0 =>  p^3 +36 - 9p \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q $

Ta cần chứng minh $p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}  <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4 $

Mà TH $p \geq 4$ thì vô lý do $p+r=4 $

Vậy ta có điều phải chứng minh

BẠn thử chứng minh $p^{3}-4pq+9r\geq 0$ đi


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#6 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2015 - 21:03

BẠn thử chứng minh $p^{3}-4pq+9r\geq 0$ đi

À, đó chính là dạng khai triển $pqr$ của bất đẳng thức Schur bậc 3

Bạn có thể tham khảo thêm, khá dễ để CM nhưng ứng dụng lại vô cùng nhiều



#7 manhhung2013

manhhung2013

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 306 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phan Đăng Lưu-Yên Thành-Nghệ An
  • Sở thích:GÁI

Đã gửi 30-12-2015 - 20:14

À, đó chính là dạng khai triển $pqr$ của bất đẳng thức Schur bậc 3

Bạn có thể tham khảo thêm, khá dễ để CM nhưng ứng dụng lại vô cùng nhiều

<_<  ai chả biết vấn đề là chứng minh, mà thôi hình như mình chứng minh được rồi


đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =

 


#8 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-12-2015 - 20:55

<_<  ai chả biết vấn đề là chứng minh, mà thôi hình như mình chứng minh được rồi

Bất đẳng thức schur bậc 3

Với $a,b,c,k$ là các số thức không âm

$a^k(a-b)(a-c) + b^k(b-c)(b-a) + c^k(c-a)(c-b) \geq 0 (*)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c $

$(*)<=> (a-b)(a^k(a-c) -b^k(b-c)) + c^k(c-a)(c-b) \geq 0 (*)(*)$ 

Mà $a^k \geq b^k ; a-c \geq b-c ; (c-a)(c-b) \geq 0 $

Do đó $(*)(*) \geq 0$

Với $k=1$ và đặt $p=a+b+c; q=ab+bc+ca; r=abc $

Ta được $p^3-4pq +9r \geq 0$



#9 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-01-2016 - 21:07

sao lại phải dùng schur nhỉ

giả sửa+b+c< 3\Rightarrow (a+b+c)^{3}< 27\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}< 1

mà abc\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}< 1\Rightarrow a+b+c+abc< 4(KTM)
\Rightarrow a+b+c\geq 3
đến đây thì dễ rồi nhé


#10 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 01-10-2016 - 22:22

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Chứng minh rằng: a+b+c$\geq$ab+bc+ca.

Theo nguyên lí Dirichlet, trong $3$ số: $a-1;b-1;c-1$ tồn tài ít nhất $2$ số có tích không âm. KMTTQ, giả sử là: $a-1;b-1$.

Khi đó, ta có: $(a-1)(b-1)\ge 0\implies ab+1\ge a+b\implies abc+c\ge c(a+b)\implies ab+abc+c\ge ab+bc+ca$.

Ta đi CM: $ab+abc\le a+b$ thì bài toán được CM.

Từ GT: $c=\frac{4-ab}{a+b+ab}$. Thay vào ta cần chứng minh:

$ab+\frac{ab(4-ab)}{a+b+ab}\le a+b\iff 1+\frac{\frac{4}{ab}-1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.

$\iff \frac{4}{ab}-1\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-1)$.

$\iff \frac{4}{ab}-1\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2-1\iff \frac{4}{ab}\le (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$. 


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#11 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 762 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 04-08-2017 - 17:34

 

Từ GT: $c=\frac{4-ab}{a+b+ab}$. 

GT là a+b+c+abc=4 chứ có phải ab+bc+ac+abc=4 đâu nhỉ


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh