Chủ đề này có 2 trả lời

[CaptainCuong]

1)Cho $0\leq a,b,c\leq 1$

Chứng minh $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}+abc\leq \frac{5}{2}$

2)Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

3)Cho $-1\leq a,b,c\leq 1$ thõa mãn $a+b+c=0$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$

[NTA1907]

2)Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

3)Cho $-1\leq a,b,c\leq 1$ thõa mãn $a+b+c=0$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$

2) Ta có:

$(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq abc+4\geq 4 \Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+4$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị

3) Làm tương tự

[vuliem1987]

1/ $bc+1\geq abc+1;ca+1\geq abc+1;ab+1\geq abc+1$ , suy ra  $VT\leq \frac{a+b+c}{abc+1}+abc=\frac{a+b+c+abc+\left ( abc \right )^{2}}{1+abc}\leq \frac{a+b+c+2abc}{1+abc}$ , ta chứng minh  $\frac{a+b+c+2abc}{1+abc}\leq \frac{5}{2}$

BĐT này có nhiều cách để chứng minh.