C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên
#1
Đã gửi 23-12-2015 - 09:15
#2
Đã gửi 23-12-2015 - 10:19
C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên
Đặt tử là $B$, mẫu là $C$
Ta có
$B= \frac{(2n)!}{n!}$
Theo định lý Langrange, ta có
$v_p(x!)= [\frac{n}{p}\ + [\frac{n}{p^2}] + ...$
Áp dụng, ta có
$v_2({2n}!) = [n] + [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$
$v_2({n}!)= [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$
do đó $v_2(B) = [n]= n $
Do đó $B$ chia hết cho $2^n$ ( điều phải chứng minh )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 23-12-2015 - 10:23
- Chi Miu yêu thích
#3
Đã gửi 23-12-2015 - 10:32
C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên
C2:
Với $n=1$ thì thỏa
Giả sử đúng với $n=k$, ta cần chứng minh đúng với $n=k+1$
Thật vậy, ta có
$(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$=$ (k+1)...(2k) . (2k+1)(2k+2). \frac{1}{k+1}$
Ta có $(k+1)...(2k)$ chia hết cho $2^k$ ( giả thiết quy nạp )
$(2k+1)(2k+2).\frac{1}{k+1}$ chia hết cho $2$ do $2k+2=2(k+1) $
Do đó $(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$ chia hết cho $2^{k+1}$
Vậy ta có điều phải chứng minh
- gianglqd, tpdtthltvp, thanhtuoanh và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 25-12-2015 - 17:10
C/mr $A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}$ là một số nguyên
Đặt tử là $B$, mẫu là $C$
Ta có
$B= \frac{(2n)!}{n!}$
Theo định lý Langrange, ta có
$v_p(x!)= [\frac{n}{p}\ + [\frac{n}{p^2}] + ...$
Áp dụng, ta có
$v_2({2n}!) = [n] + [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$
$v_2({n}!)= [\frac{n}{2}] +[\frac{n}{4}] + ...$
do đó $v_2(B) = [n]= n $
Do đó $B$ chia hết cho $2^n$ ( điều phải chứng minh )
C2:
Với $n=1$ thì thỏa
Giả sử đúng với $n=k$, ta cần chứng minh đúng với $n=k+1$
Thật vậy, ta có
$(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$=$ (k+1)...(2k) . (2k+1)(2k+2). \frac{1}{k+1}$
Ta có $(k+1)...(2k)$ chia hết cho $2^k$ ( giả thiết quy nạp )
$(2k+1)(2k+2).\frac{1}{k+1}$ chia hết cho $2$ do $2k+2=2(k+1) $
Do đó $(k+2)..(2k)(2k+1)(2k+2)$ chia hết cho $2^{k+1}$
Vậy ta có điều phải chứng minh
Các bạn làm gì mà phức tạp hóa vấn đề thế? Bài này đâu rắc rối như vậy?
Ta có:
$A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}=\frac{1.2.3\cdots (2n-1)2n}{1.2.3\cdots n.2^n}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)](2.4.6\cdots 2n)}{2^n.n!}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)]n!.2^n}{2^n.n!}=1.3.5\cdots (2n-1)$
$\Rightarrow$ đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 25-12-2015 - 17:12
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#5
Đã gửi 25-12-2015 - 17:36
Các bạn làm gì mà phức tạp hóa vấn đề thế? Bài này đâu rắc rối như vậy?
Ta có:
$A=\frac{(n+1)(n+2)...(2n-1)(2n)}{2^{n}}=\frac{1.2.3\cdots (2n-1)2n}{1.2.3\cdots n.2^n}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)](2.4.6\cdots 2n)}{2^n.n!}=\frac{[1.3.5\cdots (2n-1)]n!.2^n}{2^n.n!}=1.3.5\cdots (2n-1)$
$\Rightarrow$ đpcm.
Chẳng có gì phức tạp đâu bạn, đó đều là những hướng rất dễ suy nghĩ, kĩ thuật thì dùng không nhiều, còn cách của bạn khá thiên về kĩ thuật
- Chi Miu yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$n\epsilon \mathbb{N}$ , p nguyên tố để $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$Bắt đầu bởi thanhng2k7, 24-11-2022 số học, nguyên dương, số nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b là các số nguyên dương lẻ và $a^bb^a$ là số chính phương chứng minh ab là số chính phươngBắt đầu bởi nguyentrongvanviet, 22-05-2021 số học, số nguyên, chính phương |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm số nguyên dương nBắt đầu bởi Arthur Pendragon, 04-07-2019 số học, chia hết, số nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm các số nguyên a,b sao cho:Bắt đầu bởi hungpro2k4, 30-07-2018 số nguyên, số vô tỷ |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm n để S-2 là số chính phươngBắt đầu bởi Hagoromo, 14-09-2016 số chính phương, số nguyên |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh