Chủ đề này có 6 trả lời

[Thien Chi Hac]

bt phương trình nghiệm nguyên

Hình gửi kèm

• 

[NTA1907]

bt phương trình nghiệm nguyên

d, $x^{4}, y^{4}, z^{4}\equiv 0;1(mod 16)$

$\Rightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4}\equiv 0;1;2;3(mod 16)$

Mà $2014\equiv 14(mod 16)$

$\Rightarrow$ Pt không có nghiệm nguyên

[Thien Chi Hac]

thanks, nhưng mình tự làm được rồi, chỉ cần a/ và b/ thôi ( a/ làm rồi nhưng hơi dài)

[tpdtthltvp]

b)$1+x+x^2+x^3=2^y$                (1)

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow 2^y=(x+1)(x^2+1)$ mà ƯCLN(x,$x^2+1$)=1.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=2^m (2) & & & \\ x^2+1=2^n(3) & & & \\ m+n=y & & & (m,n\in N) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (2^m-1)^2+1=2^n\Leftrightarrow 2^{2m}-2^{m+1}+2=2^n$

+)Nếu $m\geq 2$ thì $2^n$ chia 4 dư 2 mà từ $(2)\Rightarrow x\geq 3$, từ $(3)\Rightarrow n\geq 4$ $\Rightarrow 2^n\vdots 4$, vô lí.

+)Nếu $m=1$ ,Từ $(2)\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2$ (thỏa mãn)

+)Nếu $m=0$ , Từ $(2)\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0$ (thỏa mãn)

Vậy $(x,y)\in {(1;2);(0;0)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-12-2015 - 11:37

[vuliem1987]

a/ HDG : Ta giải bài toán tổng quát : $1+x+x^{2}+x^{3}=p^{y}$ ; với p là số nguyên tố dạng p = 4q + 1, q lẻ.

Dễ thấy x chẵn, hơn nữa x phải có dạng x = 4k (bạn đọc tự kiểm tra)

Ta có  $\left ( 1+x \right )\left ( 1+x^{2} \right )=p^{y}\Rightarrow x^{2}+1=p^{m},x+1=p^{n};m\geq n\geq 0$

$x=p^{n}-1\Rightarrow \left ( p^{n}-1 \right )^{2}+1=p^{m}$

TH1 : m chẵn, bạn đọc tự giải.

TH2 : m lẻ, vì x = 4k nên $x^{2}\vdots 16$ , nhưng ta kiểm tra được do q lẻ  $p^{m}$  chỉ có dạng 4t (t lẻ) nên TH2 loại.

(Trở lại bài toán 1997 = 4.499 + 1)

c/ HDG : Xét  $x\neq -1;x\neq 0$ ta chỉ ra được  $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}< \left ( 2y+1 \right )^{2}< \left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}\Rightarrow |2y+1|= 2x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}-2x=0$

[Thien Chi Hac]

a/ HDG : Ta giải bài toán tổng quát : $1+x+x^{2}+x^{3}=p^{y}$ ; với p là số nguyên tố dạng p = 4q + 1, q lẻ.

Dễ thấy x chẵn, hơn nữa x phải có dạng x = 4k (bạn đọc tự kiểm tra)

Ta có  $\left ( 1+x \right )\left ( 1+x^{2} \right )=p^{y}\Rightarrow x^{2}+1=p^{m},x+1=p^{n};m\geq n\geq 0$

$x=p^{n}-1\Rightarrow \left ( p^{n}-1 \right )^{2}+1=p^{m}$

TH1 : m chẵn, bạn đọc tự giải.

TH2 : m lẻ, vì x = 4k nên $x^{2}\vdots 16$ , nhưng ta kiểm tra được do q lẻ  $p^{m}$  chỉ có dạng 4t (t lẻ) nên TH2 loại.

(Trở lại bài toán 1997 = 4.499 + 1)

c/ HDG : Xét  $x\neq -1;x\neq 0$ ta chỉ ra được  $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}< \left ( 2y+1 \right )^{2}< \left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}\Rightarrow |2y+1|= 2x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}-2x=0$

cho mình hỏi sao lại xét $x\neq -1;x\neq 0$

[vuliem1987]

Xét như vậy để dấu bằng không xảy ra khi đánh giá và suy ra  $|2y+1|=2x^{2}+x+1$