Chủ đề này có 2 trả lời

[luukhaiuy]

1,cho a,b là các số thực thỏa mãn điều kiện $2a^2+5b^2+2ab=1$

chứng minh rằng $\frac{-1}{\sqrt{3}}\leq \frac{a-b}{a+2b+2}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

2,cho x.y.z>0 chứng minh rằng $2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\geq3(x^2y+y^2z+z^2x)$

3,cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=6 chứng minh rằng

$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 27-12-2015 - 14:44

[PlanBbyFESN]

2,cho x.y.z>0 chứng minh rằng $2(x^3+y^3+z^3)+3xyz\geq3(x^2y+y^2z+z^2x)$

Ta có: $(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\sum x^{3}+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}\geq 3\sum x^{2}y$   (Cauchy)

$\Rightarrow$BĐT$\Leftrightarrow 2\sum x^{3}+3xyz\geq (\sum x)(\sum x^{2})$

                             $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$

Bất đẳng thức cuối là dạng (đơn giản nhất) của Schur bậc 3 nên hiển nhiên đúng ( bạn cũng có thể cm ko dùng Schur)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z$

[revenge]

câu 2 sử dụng phương pháp L,I,C ta có f(1,1,1) đúng và xét f(a,1,0)=$2x^3+2-3x^2 \geq 0$ cái này đúng với x>0 đúng theo đề