Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$.
a) Chứng minh tứ giác $CDEF$ là một tứ giác nội tiếp.
b) Kéo dài $DE$ cắt $AC$ ở $K$. Tia phân giác của góc $CKD$ cắt $EF$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Tia phân giác của góc $CBF$ cắt $DE$ và $CF$ tại $P$ và $Q$. Tứ giác $MPNQ$ là hình gì ? Tại sao?
a, Ta có $\angle BED=\angle BAD$ (cùng chắn cung nhỏ BD)
$\angle BAD=\angle ACB$ ( cùng phụ với $\angle ABC$ )
$\Rightarrow \angle BED=ACB$ nên tứ giác CDEF nội tiếp.
b. Xét 2 tam giác : $\Delta BPE, \Delta BQC$ có:
$\angle PBE=\angle PBC$ ( do BP là phân giác $\angle DBE$)
$\angle BEP=\angle BCQ$ (chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow \Delta BPE\sim BQC$
$\Rightarrow \frac{BE}{PE}=\frac{BC}{QC}$
Mà BP là phân giác $\angle DBE, \angle CBF$
Nên $\frac{BD}{DP}=\frac{BE}{PE}=\frac{BC}{CQ}=\frac{BF}{FQ}$
Do đó $\Delta BDP\sim BFQ$ ( Do có $\angle BDE=\angle BFQ$ vì DEFC nội tiếp)
$\Rightarrow \angle KPQ=\angle BPD=\angle KQB$ nên $\Delta KPQ$ cân tại K
$\Rightarrow$ KN vuông góc và đi qua trung điểm PQ ( Do KN là phân giác $\angle PKQ$
Tương tự PQ vuông góc và đi qua trung điểm MN
Vậy MNPQ là hình thoi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 20-01-2014 - 11:50