Chủ đề này có 5 trả lời

[ductrung1901]

Giúp mình bài này với. Có tệp ảnh đính kèm nhaa

Giúp mình bài 3 5 6 7 8 với

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductrung1901: 26-12-2015 - 22:49

[minhrongcon2000]

Bài 3:

Nếu n=1, ta có $\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}$ (Đúng)

Nếu n=2, ta có $2+\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{8}$

Điều này dễ dàng chứng minh bởi

$cos^{2}\frac{\pi }{8}=\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{\pi }{8}$

Giả sử đúng đến n=k. Ta phải chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$ (k+1 dấu căn)

Đặt $a_{k}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$ (k dấu căn)

$\Rightarrow a_{k+1}^{2}=2+a_{k}=2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1}}=4cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2}}$

$\Rightarrow a_{k+1}=2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$ (Đúng với n=k+1)

Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 27-12-2015 - 09:50

[ductrung1901]

Bài 3:

Nếu n=1, ta có $\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}$ (Đúng)

Nếu n=2, ta có $2+\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{8}$

Điều này dễ dàng chứng minh bởi

$cos^{2}\frac{\pi }{8}=\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{\pi }{8}$

Giả sử đúng đến n=k. Ta phải chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$ (k+1 dấu căn)

Đặt $a_{k}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$ (k dấu căn)

$\Rightarrow a_{k+1}^{2}=2+a_{k}=2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1}}=4cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2}}$

$\Rightarrow a_{k+1}=2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$ (Đúng với n=k+1)

Suy ra đpcm.

bạn giúp mình nốt bài 5 6 7 8 đc k. Mình cảm ơn nhiều

[minhrongcon2000]

5a) Không biết cách này có đúng không (do mình cũng mới học lớp 10), nếu sai, mong bạn thông cảm.

Đặt $f(n)=3^{n-1}-n^{2}-2n$

Dễ thấy,

$f'(n)=3^{n-1}ln3-2n-2$

$f''(n)=3^{n-1}(ln3)^{2}-2\geqslant 3^{3}(ln3)^{2}-2\geqslant 25$ (do $n\geqslant 4$)

$\Rightarrow f'(n)>f'(25)=3^{24}ln3-52>3^{24}-52>4$

$\Rightarrow f(n)>f(4)=3^{3}-4^{2}-2.4=3>0$

$\Rightarrow 3^{n-1}>n(n+2)$

[minhrongcon2000]

5b) 

Nếu n=2, ta có

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}+1>2\Leftrightarrow \sqrt{2}>1\Leftrightarrow 2>1$ (Đúng)

Nếu n=3, ta có

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}>\sqrt{3}$

Điều này dễ chứng minh vì 

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}>\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}>\sqrt{3}$

Giả sử điều này đúng đến n=k, ta phải chứng minh nó đúng với n=k+1

Ta có$\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{\sqrt{i}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}+\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{i}}>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}$

Suy ra đpcm.

5c) Qui nạp tương tự.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 27-12-2015 - 17:12

[tpdtthltvp]

Bài 5/c:

Ta có:

 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2^n-1}=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{7})+(\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{15})+\cdots +(\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots +\frac{1}{2^n-1})< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2^2}.4+\frac{1}{2^3}.8+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}.2^{n-1}=1+1+\cdots +1=n$