Chủ đề này có 5 trả lời

[kieuoanh182]

1/ Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, c/m

a/ abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ?

b/ $a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})< 0$ với a<b<c .

2/ Cho x, y, z >0 t./m x+y+z+1=4xyz. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$ 

3/ Cho S= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac + bd$ trong đó ad-bc =1. C.m S $\geq \sqrt{3}$ ?

4/ C/m nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^{2}+(b-2)^{2}> 3$ ?

[anhquannbk]

1/ Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, c/m

a/ abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ?

b/ $a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})< 0$ với a<b<c .

2/ Cho x, y, z >0 t./m x+y+z+1=4xyz. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$ 

3/ Cho S= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac + bd$ trong đó ad-bc =1. C.m S $\geq \sqrt{3}$ ?

4/ C/m nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^{2}+(b-2)^{2}> 3$ ?

1)

$ (a+b-c)(b+c-a)\le b^{2} $

$ (a+b-c)(a+c-b)\le a^{2} $

$ (b+c-a)(a+c-b)\le c^{2} $

Nhân lại cho kết quả

[anhquannbk]

1/ Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, c/m

a/ abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ?

b/ $a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})< 0$ với a<b<c .

2/ Cho x, y, z >0 t./m x+y+z+1=4xyz. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$ 

3/ Cho S= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac + bd$ trong đó ad-bc =1. C.m S $\geq \sqrt{3}$ ?

4/ C/m nếu pt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm thì $a^{2}+(b-2)^{2}> 3$ ?

4)

$ x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0 $

Chia cả 2 vế cho $ x^{2}\ne 0 $ ta được: $ (x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}})+a(x+\dfrac{1}{x})+b+1=0 $

Đặt $ x+\dfrac{1}{x}=t $ với $ |t|\ge 2 $

phương trình trở thành $ t^{2}-2+at+b+1=0 $ $ t^{2}+at+b-1=0 $ hay $ t^{2}+1=-(at+(b-2)) $

Dùng bđt Bunhiacopxki ta được $ (t^{2}+1)^{2}=(at+(b-2))^{2}\le (t^{2}+1)(a^{2}+(b-2)^{2}) $

Suy ra $ a^{2}+(b-2)^{2}\ge\dfrac{ (t^{2}+1)^{2}}{t^{2}+1} $

Ta chỉ cần cm $ (t^{2}+1)^{2}\ge 3(t^{2}+1) $ là xong dựa vào $ |t|\ge 2 $

$ t^{2}+1>3 với |t|\ge 2 $

suy ra đpcm

[NTA1907]

3/ Cho S= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac + bd$ trong đó ad-bc =1. C.m S $\geq \sqrt{3}$ ?

Ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}$

$\Rightarrow S\geq 2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}+ac+bd$

Đặt $ac+bd=t$

$\Rightarrow S\geq 2\sqrt{t^{2}+1}+t$

$\Rightarrow S^{2}\geq 4t^{2}+4+t^{2}+4t\sqrt{t^{2}+2}=(2t+\sqrt{t^{2}+1})^{2}+3\geq 3$

$\Rightarrow S\geq \sqrt{3}$

[huy2403exo]

2/ Cho x, y, z >0 t./m x+y+z+1=4xyz. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$ 

 

Dựa vào điều kiện : $\Leftrightarrow 2x+2y+2z+2=2x.2y.2z$

 

Đặt $x=\frac{b+c}{2a}$ ; $y=\frac{c+a}{2b}$ ; $z=\frac{a+b}{2c}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq 2.\frac{3}{2}=3$

[thanhtuoanh]

Làm nốt bài 1b nào 

 

1/ Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, c/m

a/ abc> (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ?

b/ $a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})< 0$ với a<b<c .

$a^{3}(b^{2}-c^{2})+ b^{3}(c^{2}-a^{2})+ c^{3}(a^{2}-b^{2})=(a-b)(c-a)(c-b)(ab+bc+ca)< 0\forall a< b< c(do a< b< c\Rightarrow a-b< 0;c-a>0;c-b>0\Rightarrow đpcm)$