Chủ đề này có 2 trả lời

[minhminh98]

Cho x,y,z là các số không âm trong đó không có hai số nào đồng thời bằng không.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{X}{Y+Z}+\frac{Y}{Z+X}+\frac{Z}{x+Y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{XY+YZ+ZX}{X^2+Y^2+Z^2}}$

[quoccuonglqd]

$P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Áp dụng AM-GM:$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2(ab+bc+ca)}+2\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+2\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq 3\sqrt{4}$
Vậy $P\geq 1+3\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 27-12-2015 - 20:17

[Fr13nd]

 

$P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=2+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Áp dụng AM-GM:$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}+2\sqrt{2}\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq 6$

Vậy $P\geq 6+2=8$

 

sai rui