Chủ đề này có 2 trả lời

[nacuuhneyugn]

Bài này up rồi nhưng không ai giúp được hết. Nên giờ up lại cho nó mới. Nhưng giờ mình làm được rồi nên sửa lại và up chứng minh luôn, nếu bạn nào cần thì sử dụng.

 

Bổ đề 1. Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:

${(a+b)^2} \leqslant (1+k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \;,\; \forall k >0$

Chứng minh:

${(a + b)^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt k a\frac{b}{{\sqrt k }} \leqslant {a^2} + {b^2} + k{a^2} + \frac{{{b^2}}}{k} = (1 + k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \; , \; \forall k>0$

 

Bổ đề 2. Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:

${(a + b + c)^2} \leqslant 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){a^2} + 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} + (1 + k){c^2} \;, \; \forall k >0$

Chứng minh:

${(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac$

$\leqslant {a^2} + {b^2} + {c^2} + {a^2} + {b^2} + 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt k }}b} \right)\left( {\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt 2 }}c} \right) + 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt k }}a} \right)\left( {\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt 2 }}c} \right)$

$\leqslant 2{a^2} + 2{b^2} + {c^2} + \frac{2}{k}{b^2} + \frac{k}{2}{c^2} + \frac{2}{k}{a^2} + \frac{k}{2}{c^2}$

$= 2{a^2} + \frac{2}{k}{a^2} + 2{b^2} + \frac{2}{k}{b^2} + {c^2} + k{c^2}$

$= 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){a^2} + 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} + (1 + k){c^2} \;,\; \forall k >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nacuuhneyugn: 30-12-2015 - 09:22

[superpower]

Bài này up rồi nhưng không ai giúp được hết. Nên giờ up lại cho nó mới. Và có thêm một bài đơn giản hơn.

 

Bài 1. CMR: ${(a+b)^2} \leqslant (1+k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \;,\; \forall k >0$

Chứng minh:

\[{(a + b)^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt k a\frac{b}{{\sqrt k }} \leqslant {a^2} + {b^2} + k{a^2} + \frac{{{b^2}}}{k} = (1 + k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \; , \; \forall k>0\]

 

Bài 2. CMR: ${(a + b + c)^2} \leqslant 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){a^2} + 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} + (1 + k){c^2} \;, \; \forall k >0$

Mong mọi người giúp đỡ.

Bài 2

Khai triển và thu gọn, ta được

$2ab +2ac+2bc \leq a^2 +b^2 + \frac{2}{k}a^2+\frac{2}{k}b^2 + kc^2 $

$<=> (a-b)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}a - \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2}} c)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}}b - \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2}}c )^2 \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 30-12-2015 - 17:32

[nacuuhneyugn]

Bài 2

Khai triển và thu gọn, ta được

$2ab +2ac+2bc \leq a^2 +b^2 + \frac{2}{k}a^2+\frac{2}{k}b^2 + kc^2 $

$<=> (a-b)^2 + (\frac{sqrt{2}}{sqrt{k}}a - \frac{sqrt{k}}{sqrt{2}} c)^2 + (\frac{sqrt{2}}{sqrt{k}}b - \frac{sqrt{k}}{sqrt{2}}c )^2 \geq 0$

Hì cám ớn bạn rất nhiều. Mình đã tìm ra được các CM trực tiếp luôn rồi