Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
mamanhkhoi2000

mamanhkhoi2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

Cho số thực a,b thỏa mãn:$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mamanhkhoi2000: 27-12-2015 - 20:25

  • TMW yêu thích

#2
thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

 

Cho số thực a,b thỏa mãn:$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Minicopski:

$\sqrt{16+a^4}+\sqrt{16+16b^4}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+4b^2)^2}=\sqrt{(a^2+4b^2)^2+64}$

Từ gt: $a+2b+ab=\frac{5}{2}$

$a^2+4b^2\geq 4ab$ nên: $\frac{a^2+4b^2}{4}\geq ab$

$a^2+1\geq 2a$ nên $\frac{a^2+1}{2}\geq a$ 

$4b^2+1\geq 4b$ nên $\frac{4b^2+1}{2}\geq 2b$

Do đó, $a^2+4b^2\geq 2$

nên $P\geq\sqrt{2^2+64}=2\sqrt{17}$

Đẳng thức xảy ra tại $a=1;b=\frac{1}{2}$



#3
tcqang

tcqang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 228 Bài viết
Đã có http://diendantoanho...rt16a44sqrt1b4/

Tìm lại đam mê một thời về Toán!


#4
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

 

Cho số thực a,b thỏa mãn:$(2+a)(1+b)=\frac{9}{2}$

Tìm GTNN của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$

 

những cách làm của các bạn ở trên quả là rất hay nhưng mà ........... haizzz đọc chả hiểu chi hết

Ta phân tích như sau: Các đại lượng a^4 + 16 và b^4 + 1 là các đại lượng mạnh và dễ dàng có những đánh giá

Từ giả thiết ta thấy (2 + 1)(1 + 1/2) = 9/2

Thành thử thế a = 1, b = 1/2 và tính thử vài giá trị để so sánh thì quả thật là a = 1, b = 1/2 đạt giá trị lớn nhất

Ta đã biết dấu bằng xảy ra khi nào a = 2b = 1

Lúc này ta khẳng định dấu = và bắt đầu xem xét mối liên hệ giữa hai căn thức. Thì thật tình cờ giá trị của hai căn thức bằng nhau

Điều này có nghĩa là " dấu hiệu của một bất đẳng thức " giữa hai căn ( thông thường các bất đẳng thức xảy ra khi biến bằng nhau

)  Và hai biến bằng nhau ở đây là a và 2b

Nên nhiều bạn có thể giải như sau:

Đặt c = 2b ta có:

(2 + a)(2 + c) = 9

Và cần tìm MIN P = căn(16 + a^4) + căn (16 + b^4 )

Đến đây có nhiều cách làm có điều làm như bạn thanhtuoanh rất chi là đẹp






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh