Chủ đề này có 7 trả lời

[luukhaiuy]

1,cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $b^2+c^2\leq a^2$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P=$\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

2,cho $a,b\geq 0$ và a+b=2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Q=$(a^2+1)(b^2+1)$ 

3,cho hai số dương a và b tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=$x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x}$

với x,y là các số thực không âm thỏa mãn x+y=b

4,chờ x,y là các số không âm thỏa mãn x+y=$2\sqrt{3}$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$(1+x^4)(1+y^4)$

5,chờ a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=1 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2$

[thanhtuoanh]

1,cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $b^2+c^2\leq a^2$

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P=$\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

 

Áp dụng AM-GM:$\frac{1}{a^2}(b^2+c^2)+a^2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq \frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}+\frac{4a^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\frac{4(b^{2}+c^{2})}{a^{2}}+\frac{4a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{3(b^{2}+c^{2})}{a^{2}}\geq 2\sqrt{16}-3=5$

Dấu ''='' xảy ra khi $b^{2}=c^{2}=\frac{a^{2}}{2}$

[thanhtuoanh]

2,cho $a,b\geq 0$ và a+b=2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Q=$(a^2+1)(b^2+1)$ 

Min:$Q=(a^2+1)(b^2+1)=a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1=a^{2}b^{2}+(a+b)^{2}-2ab+1\Leftrightarrow (ab-1)^{2}+4\geq 4$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1$

Mình nghĩ bài này không có GTLN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuoanh: 27-12-2015 - 21:03

[thanhtuoanh]

3,cho hai số dương a và b tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=$x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x}$

với x,y là các số thực không âm thỏa mãn x+y=b

Bài này biến $b$ ở đâu trong biểu thức A vậy bạn

[thanhtuoanh]

4,chờ x,y là các số không âm thỏa mãn x+y=$2\sqrt{3}$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$(1+x^4)(1+y^4)$

Bài tương tự tại đây

[chaubee2001]

 

3,cho hai số dương a và b tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=$x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x}$

với x,y là các số thực không âm thỏa mãn x+y=b

 

Áp dụng BĐT Bunhi-a-cốp-xki cho bộ số $(x,y)$ và $(\sqrt{a+y},\sqrt{a+x})$:

$A^2=(x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x})^2 \leq (x+y)(a+y+a+x)=(2a+b)b$

$\Rightarrow A \leq \sqrt{b(2a+b)}$

Dấu "=" <=> $x=y=\frac{b}{2}$

[thanhtuoanh]

Áp dụng BĐT Bunhi-a-cốp-xki cho bộ số $(x,y)$ và $(\sqrt{a+y},\sqrt{a+x})$:

$A^2=(x\sqrt{a+y}+y\sqrt{a+x})^2 \leq (x+y)(a+y+a+x)=(2a+b)b$

$\Rightarrow A \leq \sqrt{b(2a+b)}$

Dấu "=" <=> $x=y=\frac{b}{2}$

Đoạn màu đỏ là $x^2+y^2$ chứ nhỉ?

[chaubee2001]

Đoạn màu đỏ là $x^2+y^2$ chứ nhỉ?

ừ, mình giải sai rồi