Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
#1
Đã gửi 12-05-2006 - 13:07
#2
Đã gửi 02-07-2013 - 22:36
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
a,Từ giả thiết ta có $BA$ là tiếp tuyến của $(O)$, vậy dễ có $BA^2 = BM.BN$
Nhưng mặt khác $BA = BD = BE$ nên: $BD^2 = BM.BN \\ BE^2 = BM.BN$
$\Rightarrow$ $\triangle BDM \sim \triangle BND \\ \triangle BEM \sim \triangle BNE$
$\Rightarrow$ $\angle BDM = \angle BND \\ \angle BEM = \angle BNE$
$\Rightarrow \angle BND = \angle BED$
$\Rightarrow BDNE:tgnt$
b, Chấp nhận kí hiệu $(BDNE)$ là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$
Kẻ tiếp tuyến của $(BDNE)$ tại $N$, ta sẽ chứng minh nó cũng tiếp xúc với $(O)$ tại $N$, thật vậy:
$\angle BEN = \angle EMN = \angle MAN$ nên ta có đpcm !
p/s: bài PSW này khá hiền
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 02-07-2013 - 23:04
- perfectstrong, WhjteShadow, IloveMaths và 6 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 03-07-2013 - 08:00
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
a) Xét $\Delta BAM$ và $\Delta BNA$ có:
$\widehat{ABN}$ chung
$\widehat{BAN}=\widehat{BNA}$
$\Rightarrow \Delta BAM \sim \Delta BNA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{BA}{BM}=\frac{BN}{BA}\Rightarrow BA^{2}=BM.BN$ mà BD=BA
$\Rightarrow BD^{2}=BM.BN$
$\Rightarrow \frac{BD}{BM}=\frac{BN}{BD}$ mà $\widehat{DBN}$ chung
$\Rightarrow \Delta BMD\sim \Delta BDN \Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BDM} (1)$
Lại có $\Delta BDE$ cân (BD=BE)
$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BED}(2)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BED}$
Vậy tứ giác BDNE nội tiếp đường tròn
b) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE
$\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{BEN}$ $\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{BED}+\widehat{DNE}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$
Lại có: $\widehat{DMN}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$
$\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{DMN}\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{DMN}\Rightarrow BNO'=\frac{180^{0}-2\widehat{DMN}}{2}=90^{0}-\widehat{DMN}(3)$
Xét (O) ta có: $\widehat{MON}=2\widehat{DMN}$
$\Rightarrow \widehat{BNO}=90^{0}-\widehat{DMN}(4)$
Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{BNO'}=BNO$
$\Rightarrow$ N,O,O' thẳng hàng
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và (O) tiếp xúc nhau
P/s: E làm hơi dài mọi người thông cảm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 03-07-2013 - 20:41
- LNH, phatthemkem, Juliel và 7 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh