Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namvk

namvk

    Tay Trái Vàng

  • Thành viên
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Mặt Trời

Đã gửi 12-05-2006 - 13:07

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.


Tất cả là phù du.

#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-07-2013 - 22:36

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.

 

15150.png

a,Từ giả thiết ta có $BA$ là tiếp tuyến của $(O)$, vậy dễ có $BA^2 = BM.BN$
Nhưng mặt khác $BA = BD = BE$ nên: $BD^2 = BM.BN \\ BE^2 = BM.BN$
$\Rightarrow$ $\triangle BDM \sim \triangle BND \\ \triangle BEM \sim \triangle BNE$

$\Rightarrow$ $\angle BDM = \angle BND \\ \angle BEM = \angle BNE$

$\Rightarrow \angle BND = \angle BED$

$\Rightarrow BDNE:tgnt$

b, Chấp nhận kí hiệu $(BDNE)$ là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$

Kẻ tiếp tuyến của $(BDNE)$ tại $N$, ta sẽ chứng minh nó cũng tiếp xúc với $(O)$ tại $N$, thật vậy:

$\angle BEN = \angle EMN = \angle MAN$ nên ta có đpcm !

p/s: bài PSW này khá hiền :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chrome98: 02-07-2013 - 23:04

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#3 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 03-07-2013 - 08:00

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.

a) Xét $\Delta BAM$ và $\Delta BNA$ có:

$\widehat{ABN}$ chung

$\widehat{BAN}=\widehat{BNA}$

$\Rightarrow \Delta BAM \sim \Delta BNA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BA}{BM}=\frac{BN}{BA}\Rightarrow BA^{2}=BM.BN$ mà BD=BA

$\Rightarrow BD^{2}=BM.BN$

$\Rightarrow \frac{BD}{BM}=\frac{BN}{BD}$ mà $\widehat{DBN}$ chung

$\Rightarrow \Delta BMD\sim \Delta BDN \Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BDM} (1)$

Lại có $\Delta BDE$ cân (BD=BE)

$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BED}(2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{BND}=\widehat{BED}$

Vậy tứ giác BDNE nội tiếp đường tròn

b) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE

$\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{BEN}$ $\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{BED}+\widehat{DNE}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$

Lại có: $\widehat{DMN}=\widehat{BDE}+\widehat{DBN}$

$\Rightarrow \widehat{BEN}=\widehat{DMN}\Rightarrow \widehat{BO'N}=2\widehat{DMN}\Rightarrow BNO'=\frac{180^{0}-2\widehat{DMN}}{2}=90^{0}-\widehat{DMN}(3)$

Xét (O) ta có: $\widehat{MON}=2\widehat{DMN}$

$\Rightarrow \widehat{BNO}=90^{0}-\widehat{DMN}(4)$

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{BNO'}=BNO$

$\Rightarrow$ N,O,O' thẳng hàng

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và (O) tiếp xúc nhau

 

 

P/s: E làm hơi dài mọi người thông cảm :ohmy:  :lol:  :namtay 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 03-07-2013 - 20:41





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh