Đến nội dung

Hình ảnh

Dùng quy nạp, chứng minh $n^n\geq (n+1)^{n-1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Vito Khang Scaletta

Vito Khang Scaletta

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 210 Bài viết

Chứng minh các bất đẳng thức sau đúng $\forall x\in\mathbb{N}^{*}$

a) $n^n\geq (n+1)^{n-1}$

b) $(1+\frac{1}{n})^n \leq n+1$

c) $(n!)^2\geq n^{n}$

 

P/s: Dùng quy nạp giúp mình nhá :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 28-12-2015 - 19:59

$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<


#2
takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

a) n^n\geq (n+1)^{n-1}

Nếu $n=1\Rightarrow VT=1\geq 1=VP\left ( dpcm \right )$

Giả sử đúng với $n=k\Rightarrow k^k\geq \left ( k+1 \right )^{k-1}$

Nếu $n=k+1$

ta có $\left ( k+1 \right )^2> k\left ( k+2 \right )\Rightarrow \left ( k+1 \right )^{2k}> \left [ k\left ( k+2 \right ) \right ]^n\Leftrightarrow \frac{\left ( k+1 \right )^{k+1}}{\left ( k+2 \right )^k}\geq \frac{k^k}{\left ( k+1 \right )^{k-1}}\geq 1\Rightarrow dpcm$

Theo quy nạp ta có đpcm

Hai câu sau là hệ quả của câu đầu đó, áp dụng một chút là ra


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 28-12-2015 - 19:59


#3
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

Chứng minh các bất đẳng thức sau đúng $\forall x\in\mathbb{N}^{*}$

a) n^n\geq (n+1)^{n-1}

b) $(1+\frac{1}{n})^n \leq n+1$

c) $(n!)^2\geq n^{n}$

 

P/s: Dùng quy nạp giúp mình nhá :)

SD câu a) giải câu c) nha bạn:

$n=1$ thỏa

Giả sử đúng tới $n=k$ tức $(k!)^{2}\geq k^{k}$

Ta CM nó đúng với $n=k+1$

Ta có $((k+1)!)^{2}= (k!)^{2}.(k+1)^{2}\geq k^{k}+(k+1)^{2}$

Áp dụng câu a) ta được:$k^{k}+(k+1)^{2}\geq (k+1)^{k-1}.(k+1)^{2}= (k+1)^{k+1}$

Đpcm


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh