Tìm GTNN của $P=1-xy$, trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

#2
Đã gửi 29-12-2015 - 22:36
TH1 : Nếu x, y trái dấu thì $xy< 0\Rightarrow P> 1$
TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng
KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$
KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 29-12-2015 - 22:37
#3
Đã gửi 29-12-2015 - 22:39
TH1 : Nếu x, y trái dấu thì $xy< 0\Rightarrow P> 1$
TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng
KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$
KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............
trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:
$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$
$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$
#4
Đã gửi 29-12-2015 - 22:52
trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:
$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$
$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$
Uh, rất tốt, đó là điều nên nghĩ sau khi sử dụng AM-GM cho quá nhiều số.
- chaubee2001 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLNBắt đầu bởi chcd, 20-03-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNNBắt đầu bởi chcd, 04-03-2018 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
[ CHUYÊN ĐỀ ] BẤT ĐẲNG THỨCBắt đầu bởi phananhdao, 10-07-2017 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho a,b,c>0 thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$Bắt đầu bởi shindora, 06-02-2017 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN, GTLN của $B=\frac{4x^{2}+2x+1}{4x^{2}+1}$Bắt đầu bởi lethianhvan, 05-05-2016 ![]() |
|
![]() |
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh