Chủ đề này có 3 trả lời

[ngobaochau1704]

Tìm GTNN của $P=1-xy$, trong đó $x$,$y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện: $x^{2013}+y^{2013}=2x^{1006}y^{1006}$

[vuliem1987]

TH1 : Nếu x, y trái dấu thì  $xy< 0\Rightarrow P> 1$

TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng

KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$

KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra  $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra  $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 29-12-2015 - 22:37

[chaubee2001]

TH1 : Nếu x, y trái dấu thì  $xy< 0\Rightarrow P> 1$

TH2 : Nếu x, y cùng dấu thì từ giả thiết suy ra x, y phải không âm. Nên có 2 khả năng

KN1 : $xy= 0\Rightarrow P=1$

KN2 : $xy\neq 0\Rightarrow x> 0;y> 0$ . Từ giả thiết suy ra  $2= \frac{x^{1007}}{y^{1006}}+\frac{y^{1007}}{x^{1006}}\geq x+y$ (Theo AM-GM cho 1007 số) . Suy ra  $xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}\leq 1\Rightarrow P\geq 0$ .............

trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:

$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$

[vuliem1987]

trường hợp $x,y>0$, mình có cách này đơn giản hơn này:

$AM-GM: x^{2013}+y^{2013} \geq 2\sqrt{x^{2013}y^{2013}}=2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow 2x^{1006}y^{1006} \geq 2x^{1006}y^{1006}\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow P=1-xy \geq 0$

Uh, rất tốt, đó là điều nên nghĩ sau khi sử dụng AM-GM cho quá nhiều số.