Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 30-12-2015 - 11:12

cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa abcd=1

c/m $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}+\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 11:15


#2 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 30-12-2015 - 12:46

cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa abcd=1

c/m $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}+\frac{1}{(1+c)^{3}}+\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+a)^{3}\leq (1+1)(1+\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}})(1+ab\sqrt{ab})$

Suy ra: $\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{b\sqrt{b}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$

Tương tự, suy ra: $\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{a\sqrt{a}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$

Cộng lại ta có: $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}$
Thiết lập BĐT tương tự với $c$ và $d$, cộng lại ta có:
$VT\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{1}{2(1+cd\sqrt{cd})}=\frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{ab\sqrt{ab}}{2(ab\sqrt{ab}+1)}=\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#3 vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đã gửi 30-12-2015 - 13:16

Có thể giải theo cách dài hơn như sau :

Bổ đề 1 : Cho x, y dương ta có  $\left ( x^{3}+y^{3} \right )\geq \frac{1}{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )$

Bổ đề 2 : x, y dương ta có  $\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y+1 \right )^{2}}\geq\frac{1}{xy+1}$

Tiếp theo, không giảm tính tổng quát giả sử  $a\geq b\geq c\geq d$ . Khi đó 

$VT\geq \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{ab+1}\left ( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right )+\frac{1}{cd+1}\left ( \frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1} \right ) \right ]$ $\geq \frac{1}{2}$

Chứng minh trực tiếp và chú ý giả thiết abcd = 1.



#4 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 30-12-2015 - 18:16

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+a)^{3}\leq (1+1)(1+\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt{b}})(1+ab\sqrt{ab})$

Suy ra: $\frac{1}{(1+a)^{3}}\geq \frac{b\sqrt{b}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$

Tương tự, suy ra: $\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{a\sqrt{a}}{2(a\sqrt{a}+a\sqrt{b})(1+ab\sqrt{ab})}$

Cộng lại ta có: $\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{(1+b)^{3}}\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}$
Thiết lập BĐT tương tự với $c$ và $d$, cộng lại ta có:
$VT\geq \frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{1}{2(1+cd\sqrt{cd})}=\frac{1}{2(1+ab\sqrt{ab})}+\frac{ab\sqrt{ab}}{2(ab\sqrt{ab}+1)}=\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1$

Kinh khủng quá :)

Sử dụng BĐT Holder ta có:

$4(\sum \frac{1}{(1+a)^3})^2\geq (\sum \frac{1}{(1+a)^2})^3$

Lại có: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(a+b)(a+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+b)(b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{cd}}=\frac{cd}{1+cd}$

Tương tự: $\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\geq \frac{1}{1+cd}$

Từ đó suy ra ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 30-12-2015 - 18:16

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#5 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 30-12-2015 - 18:23

okok cảm ơn 2 bạn đã góp cho mình 2 lời giải rất thú vị mình xin đăng cách giải của mình :v :))))

ta dùng 1 bổ đề quan trong sau $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$ bổ đề này chỉ cần tương đương là ra thôi nên mình ko cần dài dòng nhỉ 

áp dụng bđt AM-GM ta có 

$2\frac{1}{(1+a)^{3}}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2(1+a)^{2}}$ tương tụ cho b,c,d

ta có 1 bđt mới cần chứng minh$\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}\geq 1$

ta có theo bổ đề $\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}$

tương tự cho c và d

ta có đẳng thức sau $\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=\frac{ab+cd+2}{ab+cd+abcd+1}=1$ Q.E.D



#6 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 30-12-2015 - 18:26

cách của Hoang Nhat Tuan kinh khủng chẳng kém @@ :v :))))

p/s China TST 2004 đó mình chém ra bài này đó 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 18:27


#7 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 30-12-2015 - 18:37

Kinh khủng quá :)

Sử dụng BĐT Holder ta có:

$4(\sum \frac{1}{(1+a)^3})^2\geq (\sum \frac{1}{(1+a)^2})^3$

Lại có: $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{(a+b)(a+\frac{1}{b})}+\frac{1}{(a+b)(b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{ab+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{cd}}=\frac{cd}{1+cd}$

Tương tự: $\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2}\geq \frac{1}{1+cd}$

Từ đó suy ra ĐPCM

Thực ra lúc đầu mình cũng làm cách này, cơ mà thấy ko hay lắm nên làm trực tiếp bậc 3 luôn.


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh