Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$[\sum a^2+k\sum ab][\sum \frac{1}{(a-b)^{2}}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 30-12-2015 - 18:49

Cho số thực $k\in [-1,2]$, chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực $a,b,c$:
$[a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)][\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-12-2015 - 18:57

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Thành viên
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 30-12-2015 - 20:53

Cho số thực $k\in [-1,2]$, chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực $a,b,c$:
$[a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)][\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$

 

 Ta có  $a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)$

            $=\dfrac{(k+1)(a+b+c)^2}{3}+\dfrac{(2-k)\left (\sum a^2-\sum ab\right )}{3}\geq \dfrac{(2-k)\sum (a-b)^2}{6}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum (a-b)^2.\sum \dfrac{1}{(a-b)^2}\geq \dfrac{27}{2}$

 Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử $(a-b)(b-c)\geq 0$. Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $a-c=x+y$ và $xy\geq 0$

 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{27}{2}$

 Áp dụng AM-GM thì $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\geq \dfrac{2}{xy}\geq \dfrac{8}{(x+y)^2}$

 Suy ra $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{3(x+y)^2}{2}.\dfrac{9}{(x+y)^2}=\dfrac{27}{2}$

 Vậy ta có điều cần chứng minh.

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(t,-t,0)$ cùng các hoán vị với $k\in [-1;2)$ và $a+b+c=0$ với $k=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 31-12-2015 - 14:41


#3 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 30-12-2015 - 21:35

Lời giải của mình cũng dựa trên ý tưởng trên nhưng dài hơn.

Giả sử $a>c>b$, đặt vế trái là $f(a,b,c)$.

TH1: $ab+bc+ca\geq(a-c)(b-c)$, dễ thấy $f(a,b,c)\geq f(a-c,b-c,0)$

Cần chứng minh: $f(a-c,b-c,0)\geq0$

Đặt $a-c=x>0,c-b=y>0$, bđt cần chứng minh trở thành.

$[x^2+y^2-kxy][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$

$VT \geq[(x+y)^2-\frac{(k+2)(x+y)^2}{4}][\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]=VP$

TH2: $ab+bc+ca\leq(a-c)(b-c)$

$a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2+(k-2)(ab+bc+ca)\geq(k-2)(a-c)(b-c)$

Cần chứng minh: $[(a-c)(c-b)][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq\frac{9}{4}$

Đặt $a-c=m>0,c-b=n>0$, bđt cần chứng minh trở thành.

$mn[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}]\geq\frac{9}{4} \Leftrightarrow \frac{(m-n)^2(m^2+mn+n^2)}{(m+n)^2}\geq0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-12-2015 - 21:42

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 30-12-2015 - 23:07

 Ta có  $a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)$

            $=\dfrac{(k+1)(a+b+c)^2}{3}+\dfrac{(2-k)\sum a^2-\sum ab}{3}\geq \dfrac{(2-k)\sum (a-b)^2}{6}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum (a-b)^2.\sum \dfrac{1}{(a-b)^2}\geq \dfrac{27}{2}$

 Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử $(a-b)(b-c)\geq 0$. Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $a-c=x+y$ và $xy\geq 0$

 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{27}{2}$

 Áp dụng AM-GM thì $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\geq \dfrac{2}{xy}\geq \dfrac{8}{(x+y)^2}$

 Suy ra $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{3(x+y)^2}{2}.\dfrac{9}{(x+y)^2}=\dfrac{27}{2}$

 Vậy ta có điều cần chứng minh.

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(t,-t,0)$ cùng các hoán vị với $k\in [-1;2)$ và $a+b+c=0$ với $k=2$

cho mình hỏi cái biên đổi cái tổng lại đâu ra cái ban đầu đâu bài này dồn biến tại biên rất hay hình như đề TST năm nào thì phải nhỉ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 23:08





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh