Chủ đề này có 3 trả lời

[chardhdmovies]

Cho số thực $k\in [-1,2]$, chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực $a,b,c$:
$[a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)][\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-12-2015 - 18:57

[hoanglong2k]

Cho số thực $k\in [-1,2]$, chứng minh BĐT sau đúng với mọi số thực $a,b,c$:
$[a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)][\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$

 

 Ta có  $a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)$

            $=\dfrac{(k+1)(a+b+c)^2}{3}+\dfrac{(2-k)\left (\sum a^2-\sum ab\right )}{3}\geq \dfrac{(2-k)\sum (a-b)^2}{6}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum (a-b)^2.\sum \dfrac{1}{(a-b)^2}\geq \dfrac{27}{2}$

 Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử $(a-b)(b-c)\geq 0$. Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $a-c=x+y$ và $xy\geq 0$

 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{27}{2}$

 Áp dụng AM-GM thì $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\geq \dfrac{2}{xy}\geq \dfrac{8}{(x+y)^2}$

 Suy ra $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{3(x+y)^2}{2}.\dfrac{9}{(x+y)^2}=\dfrac{27}{2}$

 Vậy ta có điều cần chứng minh.

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(t,-t,0)$ cùng các hoán vị với $k\in [-1;2)$ và $a+b+c=0$ với $k=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 31-12-2015 - 14:41

[chardhdmovies]

Lời giải của mình cũng dựa trên ý tưởng trên nhưng dài hơn.

Giả sử $a>c>b$, đặt vế trái là $f(a,b,c)$.

TH1: $ab+bc+ca\geq(a-c)(b-c)$, dễ thấy $f(a,b,c)\geq f(a-c,b-c,0)$

Cần chứng minh: $f(a-c,b-c,0)\geq0$

Đặt $a-c=x>0,c-b=y>0$, bđt cần chứng minh trở thành.

$[x^2+y^2-kxy][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{9(2-k)}{4}$

$VT \geq[(x+y)^2-\frac{(k+2)(x+y)^2}{4}][\frac{8}{(x+y)^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]=VP$

TH2: $ab+bc+ca\leq(a-c)(b-c)$

$a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2+(k-2)(ab+bc+ca)\geq(k-2)(a-c)(b-c)$

Cần chứng minh: $[(a-c)(c-b)][\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq\frac{9}{4}$

Đặt $a-c=m>0,c-b=n>0$, bđt cần chứng minh trở thành.

$mn[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}]\geq\frac{9}{4} \Leftrightarrow \frac{(m-n)^2(m^2+mn+n^2)}{(m+n)^2}\geq0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 30-12-2015 - 21:42

[Gachdptrai12]

 Ta có  $a^2+b^2+c^2+k(ab+bc+ca)$

            $=\dfrac{(k+1)(a+b+c)^2}{3}+\dfrac{(2-k)\sum a^2-\sum ab}{3}\geq \dfrac{(2-k)\sum (a-b)^2}{6}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum (a-b)^2.\sum \dfrac{1}{(a-b)^2}\geq \dfrac{27}{2}$

 Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử $(a-b)(b-c)\geq 0$. Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $a-c=x+y$ và $xy\geq 0$

 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{27}{2}$

 Áp dụng AM-GM thì $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ và $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\geq \dfrac{2}{xy}\geq \dfrac{8}{(x+y)^2}$

 Suy ra $\left [x^2+y^2+(x+y)^2\right ]\left [\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2}\right ]\geq \dfrac{3(x+y)^2}{2}.\dfrac{9}{(x+y)^2}=\dfrac{27}{2}$

 Vậy ta có điều cần chứng minh.

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(t,-t,0)$ cùng các hoán vị với $k\in [-1;2)$ và $a+b+c=0$ với $k=2$

cho mình hỏi cái biên đổi cái tổng lại đâu ra cái ban đầu đâu bài này dồn biến tại biên rất hay hình như đề TST năm nào thì phải nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 30-12-2015 - 23:08