Chủ đề này có 1 trả lời

[bvptdhv]

Cho $x,y,a,b>0, x^{2}+y^{2}=2$

CMR:$\frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq 4x^{2}y^{2}$
P/s: chế tập 2 :v

[hoctrocuaHolmes]

Cho $x,y,a,b>0, x^{2}+y^{2}=2$

CMR:$\frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq 4x^{2}y^{2}$
P/s: chế tập 2 :v

Áp dụng AM-GM:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y\geq 2x\sqrt{y}\Rightarrow \frac{a}{b}(x^{2}+y)\geq \frac{2ax\sqrt{y}}{b} & \\ y^{2}+x\geq 2y\sqrt{x}\Rightarrow \frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq \frac{2by\sqrt{x}}{a} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{b}(x^{2}+y)+\frac{b}{a}(y^{2}+x) \geq \frac{2by\sqrt{x}}{a} +\frac{2ax\sqrt{y}}{b}\geq 4\sqrt{xy\sqrt{xy}}$

Ta cần chứng minh $4\sqrt{xy\sqrt{xy}}\geq 4x^{2}y^{2}\Leftrightarrow xy\sqrt{xy}\geq x^{4}y^{4}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq x^{3}y^{3}\Leftrightarrow 1\geq x^{5}y^{5}\Leftrightarrow xy\leq 1$

Thật vậy áp dụng AM-GM:$2=x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Leftrightarrow 1\geq xy$

Từ đó ta có đpcm 

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=1;a=b$