Chủ đề này có 3 trả lời

[dunghoiten]

1,Cho $a^3+b^3+c^3=3abc$. Chứng minh $(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}).(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})=9$

 

2,Cho $a+b+c=0$. CMR: $2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)$

 

3,Cho $a;b;c;x;y;z$ thỏa mãn $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$

 

Hãy tính gt của $\frac{x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}}{2012}$

 

4,Cho các số x;y;a;b thỏa mãn \begin{cases} &  x+y=a+b \\  &  x^4+y^4=a^4+b^4 \end{cases}

 

CMR: $x^n+y^n=a^n+b^n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 30-12-2015 - 21:37

[leminhnghiatt]

3, ĐK: $a,b,c \not = 0$

 

$\iff \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$

 

$\iff \dfrac{x^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{y^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$

 

Ta thấy: $\dfrac{x^2}{a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{x^2}{a^2}; \dfrac{y^2}{a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{y^2}{b^2}; \dfrac{z^2}{a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{z^2}{c^2}$

 

$\iff  \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2} \leq \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$

 

Dấu "=" có khi: $x=y=z=0$

 

Vậy giá trị bt bằng 0

[leminhnghiatt]

1, $a^3+b^3+c^3=3abc \iff a+b+c=0$  v  $a=b=c$

 

ĐK: $a \not = b \not = c \not =0$

 

$\iff a=-b-c \ \ ; b=-a-c \ ; \ c=-a-b$

Ta có: $\dfrac{a}{b-c}(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})=1+\dfrac{a}{b-c}(\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})$

 

$= 1+\dfrac{a(c^2-ca+ab-b^2)}{(b-c)bc}=1+\dfrac{a(b-c)(a-b-c)}{(b-c)bc}=1+\dfrac{a(a-b-c)}{bc}=1+\dfrac{2a^2}{bc} \ (1)$

 

TT: $\dfrac{b}{c-a}(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})=1+\dfrac{2b^2}{ac} \ (2)$ ; $\dfrac{c}{a-b}(\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c})=1+\dfrac{2c^2}{ab} \ (3)$

 

(1)+(2)+(3) BTBĐ $=3+\dfrac{2a^2}{bc}+\dfrac{2b^2}{ca}+\dfrac{2c^2}{ab}=3+\dfrac{2a^3+2b^3+2c^3}{abc}=3+\dfrac{6abc}{abc}=9$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 30-12-2015 - 22:48

[dtthltvp]

2.

$a+b+c=0\Rightarrow (a+b)^5=c^5 \Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)=0\Rightarrow a^5+b^5+c^5+5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=0\Rightarrow 2(a^5+b^5+c^5)=5abc[(a+b)^2+(a^2+b^2)]=5abc(a^2+b^2+c^2)$