Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm $MN$, $d$ là trung trực của đoạn

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Khách- thachpbc_*

Khách- thachpbc_*
  • Khách

Đã gửi 12-05-2006 - 16:59

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng:

$AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:46
Sửa đề bài


#2 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 12-06-2013 - 22:48

Hình như đề bài này thiếu dữ liệu.

ScreenHunter_63 Jun. 12 23.46.jpg



#3 nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 13-06-2013 - 10:41

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng $AT$ đi qua $O$ và $d$ đi qua $K$.

em thấy đoạn chứng minh phải là "khi và chỉ khi" mới đúng

Hình gửi kèm

  • Snap99.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 13-06-2013 - 10:43


#4 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 13-06-2013 - 17:14

Nhận xét của em khá xác đáng, ta tạm sửa lại đề bài như trên


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 14-06-2013 - 01:00

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng:

$AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.

ScreenHunter_64 Jun. 14 02.00.jpg

Trường hợp 1: Ta có $AT$ đi qua $O$:

$AO$ cắt $(O)$ tại $E$.

$CE$ cắt $AB$ tại $J, BE$ cắt $AC$ tại $Q, G$ là trung điểm $JQ.$

$AE$ cắt $JQ$ tại $H, AE$ là đường kính của $(O).$

$\Rightarrow$ $E$ là trực tâm tam giác $AJQ.$

Ta có $O,I,G$ lần lượt là trung điểm $AE, BC, JQ.$

Áp dụng đường thẳng $Gauss$ cho tứ giác toàn phần $ABEC$ $\Rightarrow$ $O,I,G$ thẳng hàng

Xem chứng minh đường thẳng Gauss tại đây.

Ta cần chứng minh $K,I,G$ thẳng hàng:

Xét $\triangle BTN$ và $\triangle BEC$:

$\widehat{BTN}=\widehat{BEC} (=180^{0}-\widehat{A})$

$\widehat{BNT}=\widehat{BCE} (=\widehat{BAE})$

$\Rightarrow \triangle BTN \sim \triangle BEC$

$\Rightarrow \frac{BT}{TN}=\frac{BE}{EC}$

Xét $\triangle MTB$ và $\triangle CTN$:

$\widehat{BMT}=\widehat{NCT}$ (tứ giác $MACT$ nội tiếp)

$\widehat{MBT}=\widehat{TNC}$ (tứ giác $ANTB$ nội tiếp)

$\Rightarrow \triangle MTB \sim \triangle CTN$

$\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}=\frac{BE}{EC} $ (1)

$ \triangle BEJ \sim \triangle CEQ$ (tứ giác $BCQJ$ nội tiếp)

$\Rightarrow \frac{BE}{CE}=\frac{BJ}{CQ}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}$

 

Vẽ $N', Q'$ đối xứng với  $N,Q$ qua $(d)$

$\Rightarrow NQQ'N'$ là hình thang cân.

Gọi $D, F$ là trung điểm $NN',QQ'$

$\Rightarrow$ $D,F$ thuộc $d$

$\Rightarrow$ $JQ'// (d)$ ($G, F$ trung điểm)

Ta có: $\frac{BM}{BN'}=\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BJ}{BQ'}$

$\Rightarrow MN'//JQ'$ $\Rightarrow MN'//(d)$

Mà $D$ là trung điểm $NN', D$ thuộc ($d)$

$\Rightarrow$ $K$ thuộc $(d)$ (đpcm)

 

Trường hợp 2: Ta có $(d)$ đi qua $K$:

Gọi $E$ là giao điểm $AO$ và $(O)$, $H$ là giao điểm $AO$ và $QJ$ nên $E$ vẫn là trực tâm $\triangle AJQ$

Do $MN'//JQ'$

$\Rightarrow$ $\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BE}{EC}$

 

Mà $\frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}$

 

$\Rightarrow$ $\frac{BE}{EC}=\frac{BT}{NT}$

$\Rightarrow \triangle BTN\sim \triangle BEC$  (c_g_c)

$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{EBC}=\widehat{NBT}=\widehat{TAC}$

$\Rightarrow E,A,T$ thẳng hàng $\Rightarrow E,A,T,O$ thẳng hàng.

Kết thúc bài toán  :biggrin:  :biggrin:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 14-06-2013 - 02:10


#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4120 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 14-06-2013 - 09:04

Lời giải trên sáng tạo nhưng có vẻ dài quá :D Một lời giải khác đơn giản hơn

Lời giải 2:

Vẽ $CO$ cắt $(ACM)$ lần 2 tại $P$. $Q$ là giao điểm thứ 2 của $BO$ và $(ABN)$. Xét các góc theo modulo $\pi$.

Vì $\triangle OBC$ cân tại $O$ và $d$ là trung trực $BC$ nên

\[
\left( {d;OC} \right) \equiv \frac{1}{2}\left( {OB;OC} \right) \equiv \left( {AB;AC} \right) \equiv \left( {AM;AC} \right) \equiv \left( {PM;PC} \right)
\]
Do đó $d \parallel PM$. Tương tự, $d \parallel QN \Rightarrow d \parallel PM \parallel QN \quad (1)$.

140613.png

Mặt khác, $P_{O/(ACM)}=\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OP}$ và $P_{O/(ABN)}=\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OQ}$

Chú ý rằng $B,C$ đối xứng nhau qua $d$ nên đường thẳng $OC,OB$ đối xứng qua $d$.

Gọi $f$ là phép đối xứng trục $d$. Từ (1) và do $K$ là trung điểm $MN$ nên ta có:

$K \in d$ khi và chỉ khi\[
\begin{array}{l}
 f\left( {PM} \right) = QN \\
  \Leftrightarrow f:P = OC \cap PM \mapsto OB \cap QN = Q \\
  \Leftrightarrow f:\overrightarrow {OP}  \to \overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow f:\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OP}  \to \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow P_{O/\left( {ACM} \right)}  = P_{O/\left( {ABN} \right)}  \\
  \Leftrightarrow O \in AT \\
 \end{array}
\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 21:50

Chấm bài

 

henry0905: 10 điểm

perfectstrong: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh