Đến nội dung

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm $MN$, $d$ là trung trực của đoạn

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Khách- thachpbc_*

Khách- thachpbc_*
  • Khách

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng:

$AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:46
Sửa đề bài


#2
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Hình như đề bài này thiếu dữ liệu.

ScreenHunter_63 Jun. 12 23.46.jpg



#3
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng $AT$ đi qua $O$ và $d$ đi qua $K$.

em thấy đoạn chứng minh phải là "khi và chỉ khi" mới đúng

Hình gửi kèm

  • Snap99.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 13-06-2013 - 10:43


#4
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Nhận xét của em khá xác đáng, ta tạm sửa lại đề bài như trên


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng:

$AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.

ScreenHunter_64 Jun. 14 02.00.jpg

Trường hợp 1: Ta có $AT$ đi qua $O$:

$AO$ cắt $(O)$ tại $E$.

$CE$ cắt $AB$ tại $J, BE$ cắt $AC$ tại $Q, G$ là trung điểm $JQ.$

$AE$ cắt $JQ$ tại $H, AE$ là đường kính của $(O).$

$\Rightarrow$ $E$ là trực tâm tam giác $AJQ.$

Ta có $O,I,G$ lần lượt là trung điểm $AE, BC, JQ.$

Áp dụng đường thẳng $Gauss$ cho tứ giác toàn phần $ABEC$ $\Rightarrow$ $O,I,G$ thẳng hàng

Xem chứng minh đường thẳng Gauss tại đây.

Ta cần chứng minh $K,I,G$ thẳng hàng:

Xét $\triangle BTN$ và $\triangle BEC$:

$\widehat{BTN}=\widehat{BEC} (=180^{0}-\widehat{A})$

$\widehat{BNT}=\widehat{BCE} (=\widehat{BAE})$

$\Rightarrow \triangle BTN \sim \triangle BEC$

$\Rightarrow \frac{BT}{TN}=\frac{BE}{EC}$

Xét $\triangle MTB$ và $\triangle CTN$:

$\widehat{BMT}=\widehat{NCT}$ (tứ giác $MACT$ nội tiếp)

$\widehat{MBT}=\widehat{TNC}$ (tứ giác $ANTB$ nội tiếp)

$\Rightarrow \triangle MTB \sim \triangle CTN$

$\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}=\frac{BE}{EC} $ (1)

$ \triangle BEJ \sim \triangle CEQ$ (tứ giác $BCQJ$ nội tiếp)

$\Rightarrow \frac{BE}{CE}=\frac{BJ}{CQ}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}$

 

Vẽ $N', Q'$ đối xứng với  $N,Q$ qua $(d)$

$\Rightarrow NQQ'N'$ là hình thang cân.

Gọi $D, F$ là trung điểm $NN',QQ'$

$\Rightarrow$ $D,F$ thuộc $d$

$\Rightarrow$ $JQ'// (d)$ ($G, F$ trung điểm)

Ta có: $\frac{BM}{BN'}=\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BJ}{BQ'}$

$\Rightarrow MN'//JQ'$ $\Rightarrow MN'//(d)$

Mà $D$ là trung điểm $NN', D$ thuộc ($d)$

$\Rightarrow$ $K$ thuộc $(d)$ (đpcm)

 

Trường hợp 2: Ta có $(d)$ đi qua $K$:

Gọi $E$ là giao điểm $AO$ và $(O)$, $H$ là giao điểm $AO$ và $QJ$ nên $E$ vẫn là trực tâm $\triangle AJQ$

Do $MN'//JQ'$

$\Rightarrow$ $\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BE}{EC}$

 

Mà $\frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}$

 

$\Rightarrow$ $\frac{BE}{EC}=\frac{BT}{NT}$

$\Rightarrow \triangle BTN\sim \triangle BEC$  (c_g_c)

$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{EBC}=\widehat{NBT}=\widehat{TAC}$

$\Rightarrow E,A,T$ thẳng hàng $\Rightarrow E,A,T,O$ thẳng hàng.

Kết thúc bài toán  :biggrin:  :biggrin:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 14-06-2013 - 02:10


#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Lời giải trên sáng tạo nhưng có vẻ dài quá :D Một lời giải khác đơn giản hơn

Lời giải 2:

Vẽ $CO$ cắt $(ACM)$ lần 2 tại $P$. $Q$ là giao điểm thứ 2 của $BO$ và $(ABN)$. Xét các góc theo modulo $\pi$.

Vì $\triangle OBC$ cân tại $O$ và $d$ là trung trực $BC$ nên

\[
\left( {d;OC} \right) \equiv \frac{1}{2}\left( {OB;OC} \right) \equiv \left( {AB;AC} \right) \equiv \left( {AM;AC} \right) \equiv \left( {PM;PC} \right)
\]
Do đó $d \parallel PM$. Tương tự, $d \parallel QN \Rightarrow d \parallel PM \parallel QN \quad (1)$.

140613.png

Mặt khác, $P_{O/(ACM)}=\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OP}$ và $P_{O/(ABN)}=\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OQ}$

Chú ý rằng $B,C$ đối xứng nhau qua $d$ nên đường thẳng $OC,OB$ đối xứng qua $d$.

Gọi $f$ là phép đối xứng trục $d$. Từ (1) và do $K$ là trung điểm $MN$ nên ta có:

$K \in d$ khi và chỉ khi\[
\begin{array}{l}
 f\left( {PM} \right) = QN \\
  \Leftrightarrow f:P = OC \cap PM \mapsto OB \cap QN = Q \\
  \Leftrightarrow f:\overrightarrow {OP}  \to \overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow f:\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OP}  \to \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OQ}  \\
  \Leftrightarrow P_{O/\left( {ACM} \right)}  = P_{O/\left( {ABN} \right)}  \\
  \Leftrightarrow O \in AT \\
 \end{array}
\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Chấm bài

 

henry0905: 10 điểm

perfectstrong: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#8
BoleroGirl

BoleroGirl

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Vì bài 33 chưa có link nên mình giải luôn ở đây:
 

Gọi S là điểm đối xứng A qua O.

Ta có $\angle TBN=\angle TAC=\angle TMC$ và $\angle TNB=\angle TAB=\angle TCM$ suy ra $\Delta TBN\sim\Delta TMC$.

Gọi phân giác trong góc A cắt (O) tại J. Đường thẳng qua J vuông góc JA cắt AB, AC lần lượt tại P,Q. Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu của B, C lên AJ.

Ta có $\frac{PB}{CQ}=\frac{PB}{BA}.\frac{BA}{AC}.\frac{AC}{CQ}=\frac{JB'}{B'A}.\frac{BA}{AC}.\frac{AC'}{C'J}=\frac{JB'}{JC'}=\frac{JB.\cos C}{JC.\cos B}=\frac{SB}{SC}$

suy ra $\Delta SBP\sim\Delta SCQ$ 

Gọi X,Y là tâm ngoại tiếp đường tròn (ABN) và (ACM) thì $XY\perp AT$. Do đó AT đi qua O khi và chỉ khi AO vuông góc với XY, khi và chỉ khi $\Delta TMC\sim\Delta SBC$, khi và chỉ khi $\frac{TM}{TC}=\frac{SB}{SC}$.

Mà $\frac{TM}{TC}=\frac{BM}{CN}$

$\frac{SB}{SC}=\frac{BP}{CQ}$

Do đó $AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $\frac{BM}{CN}=\frac{BP}{CQ}$.

Áp dụng bổ đề E.R.I.Q, điều kiện trên tương đương với trung điểm $MN, BC, PQ$ thẳng hàng hay $K$ thuộc trung trực $BC$.

( Chứng minh chi tiết bổ để E.R.I.Q tham khảo

https://julielltv.wo.../15/bo-de-eriq/ )

Hình gửi kèm

  • geogebra-export.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoleroGirl: 17-12-2016 - 23:24

.....

Tôi biết, mình chẳng biết gì về thế giới này hết
Chỉ lặng lẽ bước đi một mình trên con đường dài cô độc, có lẽ…

Nhưng tôi không hối tiếc với những giấc mơ dù thành công hay thất bại của mình.
Đó là thế giới của riêng tôi.
Và tôi cũng không bao giờ hối hận mà sẽ dấn bước, kiếm tìm những giấc mơ đó.
Vì đó là thế giới của riêng tôi.

Vì, đó là thế giới của riêng tôi.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh