Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm
$MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng:
$AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.
Trường hợp 1: Ta có $AT$ đi qua $O$:
$AO$ cắt $(O)$ tại $E$.
$CE$ cắt $AB$ tại $J, BE$ cắt $AC$ tại $Q, G$ là trung điểm $JQ.$
$AE$ cắt $JQ$ tại $H, AE$ là đường kính của $(O).$
$\Rightarrow$ $E$ là trực tâm tam giác $AJQ.$
Ta có $O,I,G$ lần lượt là trung điểm $AE, BC, JQ.$
Áp dụng đường thẳng $Gauss$ cho tứ giác toàn phần $ABEC$ $\Rightarrow$ $O,I,G$ thẳng hàng
Xem chứng minh đường thẳng Gauss tại đây.
Ta cần chứng minh $K,I,G$ thẳng hàng:
Xét $\triangle BTN$ và $\triangle BEC$:
$\widehat{BTN}=\widehat{BEC} (=180^{0}-\widehat{A})$
$\widehat{BNT}=\widehat{BCE} (=\widehat{BAE})$
$\Rightarrow \triangle BTN \sim \triangle BEC$
$\Rightarrow \frac{BT}{TN}=\frac{BE}{EC}$
Xét $\triangle MTB$ và $\triangle CTN$:
$\widehat{BMT}=\widehat{NCT}$ (tứ giác $MACT$ nội tiếp)
$\widehat{MBT}=\widehat{TNC}$ (tứ giác $ANTB$ nội tiếp)
$\Rightarrow \triangle MTB \sim \triangle CTN$
$\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}=\frac{BE}{EC} $ (1)
$ \triangle BEJ \sim \triangle CEQ$ (tứ giác $BCQJ$ nội tiếp)
$\Rightarrow \frac{BE}{CE}=\frac{BJ}{CQ}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}$
Vẽ $N', Q'$ đối xứng với $N,Q$ qua $(d)$
$\Rightarrow NQQ'N'$ là hình thang cân.
Gọi $D, F$ là trung điểm $NN',QQ'$
$\Rightarrow$ $D,F$ thuộc $d$
$\Rightarrow$ $JQ'// (d)$ ($G, F$ trung điểm)
Ta có: $\frac{BM}{BN'}=\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BJ}{BQ'}$
$\Rightarrow MN'//JQ'$ $\Rightarrow MN'//(d)$
Mà $D$ là trung điểm $NN', D$ thuộc ($d)$
$\Rightarrow$ $K$ thuộc $(d)$ (đpcm)
Trường hợp 2: Ta có $(d)$ đi qua $K$:
Gọi $E$ là giao điểm $AO$ và $(O)$, $H$ là giao điểm $AO$ và $QJ$ nên $E$ vẫn là trực tâm $\triangle AJQ$
Do $MN'//JQ'$
$\Rightarrow$ $\frac{BM}{CN}=\frac{BJ}{CQ}=\frac{BE}{EC}$
Mà $\frac{BM}{CN}=\frac{BT}{NT}$
$\Rightarrow$ $\frac{BE}{EC}=\frac{BT}{NT}$
$\Rightarrow \triangle BTN\sim \triangle BEC$ (c_g_c)
$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{EBC}=\widehat{NBT}=\widehat{TAC}$
$\Rightarrow E,A,T$ thẳng hàng $\Rightarrow E,A,T,O$ thẳng hàng.
Kết thúc bài toán
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 14-06-2013 - 02:10