Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm số tự nhiên n để $A=2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 dtthltvp

dtthltvp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 16:24

Tìm số tự nhiên n để $A=2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtthltvp: 31-12-2015 - 16:24


#2 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 31-12-2015 - 16:35

A=$(2^4)^2+2.2^4.2^6+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2$ suy ra $n=12$

bài này tui gặp khá nhiều lời giải gần giống như trên nhưng tui không chắc đây có phài là nghiệm duy nhất hay không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 31-12-2015 - 16:37


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 31-12-2015 - 18:33

A=$(2^4)^2+2.2^4.2^6+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2$ suy ra $n=12$

bài này tui gặp khá nhiều lời giải gần giống như trên nhưng tui không chắc đây có phài là nghiệm duy nhất hay không

Lời giải chưa đúng . 
Xét $n$ lẻ $A$ ko phải là số chính phương (chia $3$ dư $2$) 
$n$ chẵn đặt $n=2k$ 
$A=(2^4)^2+2.(2^4.2^6)+(2^k)^2=(2^4)^2+2.(2^4.2^6)+a^2$ 
$(a+2^4+1)^2>A>a^2$ (với $a>59$) 
Haizz tớ ko còn cách nào khác ngoài cách trâu bò này ~~ mong có lời giải đẹp
 



#4 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 31-12-2015 - 19:02

Mới nghĩ ra 1 cách ngắn gọi hơn :D 
Rút $2^8$ đó đi là ngắn rồi kẹp 



#5 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2015 - 19:58

Tìm số tự nhiên n để $A=2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.

Xét $n=1,2,...,8 $ không thỏa yêu cầu bài toán

Suy ra $n \geq 8$

Ta có $A=2^8(1+2^3+2^{n-8})$ là số chính phương

$<=> 9+2^{n-8}=x^2 $

Đặt $n-8 =a$ (Đặt để nhìn cho gọn)

Ta cần tìm x thỏa $2^a=(x-3)(x+3)$

Suy ra $x-3=2^p ; x+3=2^q $ (với $p+q=a, q \geq p$)

Suy ra  $6=2^q -2^p=2^p(2^{q-p} -1) => p=1 => q=3 $

Suy ra $a=4 => n=12 $

Điều phải chứng minh



#6 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 31-12-2015 - 21:23

Xét $n=1,2,...,8 $ không thỏa yêu cầu bài toán

Suy ra $n \geq 8$

Ta có $A=2^8(1+2^3+2^{n-8})$ là số chính phương

$<=> 9+2^{n-8}=x^2 $

Đặt $n-8 =a$ (Đặt để nhìn cho gọn)

Ta cần tìm x thỏa $2^a=(x-3)(x+3)$

Suy ra $x-3=2^p ; x+3=2^q $ (với $p+q=a, q \geq p$)

Suy ra  $6=2^q -2^p=2^p(2^{q-p} -1) => p=1 => q=3 $

Suy ra $a=4 => n=12 $

Điều phải chứng minh

hmm quên bén cách này :D cũng có 2 cách làm bài này rồi đấy.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh