Cho tam giác ABE cân tại E. Đường cao EC. Kẻ CF vuông góc EB tại F. Gọi G là trung điểm CF. Chứng minh $EG\bot AF$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi santo3vong: 31-12-2015 - 16:30
Cho tam giác ABE cân tại E. Đường cao EC. Kẻ CF vuông góc EB tại F. Gọi G là trung điểm CF. Chứng minh $EG\bot AF$
Nhận thấy $\vec{EC}.\vec{AC}=\vec{AF}.\vec{EF}=0$ vì các cặp vecto này vuông góc với nhau
Ta có :
$\vec{EG}.\vec{AF}=\frac{1}{2}(\vec{EC}+\vec{EF})(\vec{AC}+\vec{CF})=\frac{1}{2}(\vec{EC}.\vec{CF}+\vec{EF}.\vec{AC})$
$=\frac{1}{2}(EC.CF.cos(\vec{EC},\vec{CF})+EF.AC.cos(\vec{EF},\vec{AC}))$
Lại có : góc $ABE$ = góc $ECF$ nên $sđ (\vec{EC},\vec{CF})= -sđ (\vec{EF},\vec{AC})$
Suy ra : $cos(\vec{EC},\vec{CF})=-cos(\vec{EF},\vec{AC})$
$-->\vec{EG}.\vec{AF}=\frac{1}{2}.cos(\vec{EC},\vec{CF})(EC.CF-EF.AC)$
Đến đây dễ dàng chứng minh $EC.CF=EF.AC$ bằng cặp tam giác đồng dạng $\Delta ECA$ và $\Delta EFC$
bài này hoàn toàn có thể giải được bằng kiến thức thcs như sau
gọi N là trung điểm AC suy ra ENC đồng đạng EGF suy ra EGCN nội tiếp góc GEC=GNC=FAB suy ra góc CGE = AFB suy ra dpcm
Bài này mình nghĩ ra được 5 cách:
Cách 1: Dùng vecto như Mai Quoc Tuan
Cách 2: Vẽ AK vuông góc AB
Cách 3: Dùng định lý 4 điểm
Cách 4: Lấy trung điểm K của FB rồi chứng minh G là trực tâm tam giác ECK
Cách 5: Dùng tọa độ
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh