Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhnam2000]

 Kỹ thuật đổi biến BĐT Cauchy-Schwarz

 

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$. CM

 

 $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+d)}+\frac{1}{d(1+a)}\geq 2$

[Quoc Tuan Qbdh]

 Kỹ thuật đổi biến BĐT Cauchy-Schwarz

 

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$. CM

 

 $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+d)}+\frac{1}{d(1+a)}\geq 2$

Vì $abcd=1$ nên tồn tại $x;y;z;t$ dương sao cho

$a=\frac{y}{x}$ // $b=\frac{z}{y}$ // $c=\frac{t}{z}$ // $d=\frac{x}{t}$
Bất đẳng thức trở thành 

$\sum \frac{1}{\frac{y}{x}(1+\frac{z}{y})} \geq 2$
$<=>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x}+\frac{t}{x+y} \geq 2$
Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+t}+\frac{z}{t+x}+\frac{t}{x+y} = \frac{x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{yz+ty}+\frac{z^{2}}{zt+zx}+\frac{t^{2}}{tx+ty}$

$\geq \frac{(x+y+z+t)^{2}}{xy+yz+tz+tx+2xz+2ty}$

Lại có :

$(x+y+z+t)^{2} \geq 2xy+2yz+2tz+2tx+4xz+2ty$
$<=>(t-y)^{2}+(x-z)^{2} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )
Suy ra : 

$ \frac{(x+y+z+t)^{2}}{xy+yz+tz+tx+2xz+2ty} \geq 2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=t$ hay $a=b=c=d=1$
 

[anhquannbk]

 Kỹ thuật đổi biến BĐT Cauchy-Schwarz

 

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $abcd=1$. CM

 

 $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+d)}+\frac{1}{d(1+a)}\geq 2$

Đặt $ a=\dfrac{y}{x}, b=\dfrac{z}{y}, c=\dfrac{t}{z}, d=\dfrac{x}{t} $

Thay vào ta có BĐT:

$ \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+t}+\dfrac{z}{t+x}+\dfrac{t}{x+y}\ge 2 $

Áp dụng BĐT $ Cauchy-Schwarz $ ta có:

$ \dfrac{x^{2}}{x(y+z)}+\dfrac{y^{2}}{y(z+t)}+\dfrac{z^{2}}{z(t+x)}+\dfrac{t^{2}}{t(x+y)} \ge \dfrac{(x+y+z+t)^{2}}{xy+xz+yz+yt+zt+zx+tx+ty}$

Dễ thấy $ xy+xz+yz+yt+zt+zx+tx+ty \le \dfrac{1}{2}(x+y+z+t)^{2} $

suy ra đpcm

Dấu $ = $ xảy ra khi $ a=b=c=d=1 $.