Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tran Thanh Truong

Tran Thanh Truong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Thiên văn học

Đã gửi 01-01-2016 - 10:24

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

a)  $$3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$$

b)  $$3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$$


                             TOÁN HỌC  LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

                     

*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*                      


#2 thanhtuoanh

thanhtuoanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:ABC

Đã gửi 01-01-2016 - 11:42

b) Áp dụng BĐT Bu-nhia và BĐT phụ 3(ab+bc+ca) $\leq (a+b+c)^{2}$  ta có:

 $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}) 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2})$

<=>$ 3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuoanh: 01-01-2016 - 11:44


#3 vuliem1987

vuliem1987

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Đã gửi 01-01-2016 - 15:18

HDG : Ta chỉ cần xét 2 trường hợp là đủ (Các bạn thử nghĩ tại sao ?)

TH1 : $a\geq b\geq c$ . BĐT cần chứng minh trở thành

$a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )+c\left ( c-a \right )\left ( c^{2}+ca-a^{2} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )\geq c\left ( a-c \right )\left ( c^{2}+ca-a^{2} \right )$

Ta chỉ cần xét  $c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành

$a^{2}\left ( ac-c^{2} \right )+\left ( a^{2}-ab \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )\geq \left ( ac-c^{2} \right )\left ( ac+c^{2} \right )$  (*) , vì $a\geq b\geq c$ nên

VT(*) $\geq a^{2}\left ( ac-c^{2} \right )+a^{2}\left ( a^{2}-ab \right )+b^{2}\left ( b^{2}-bc \right )$ $b^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+ac-ab-bc-c^{2} \right )\geq \left ( ac-c^{2} \right )\left ( ac+c^{2} \right )=c^{2}\left ( a^{2}-c^{2} \right )$  (Bạn đọc c/m chi tiết)

TH2 : $a\geq c\geq b$

Ở đây ta chỉ xét 2 khả năng sau

KN1 : $b^{2}+bc-c^{2}\leq 0;c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ ta c/m được $c\left ( a-c \right )\left ( c^{2} +ac-a^{2}\right )\leq a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2}\right )$ , suy ra đpcm!

KN2 : $b^{2}+bc-c^{2}\geq 0;c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ , BĐT cần c/m trở thành

$a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )\geq b\left ( c-b \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )+c\left ( a-c \right )\left ( c^{2}+ac-a^{2} \right )$

==>  $VT=a\left ( a-c \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+a\left ( b-c \right )\left ( a^{2}+ab-b^{^{2}} \right )\geq VP$ (bạn đọc tự c/m chi tiết)

Tóm lại ta có thể kết thúc c/m.

Bài này nếu dùng cách này thì xét nhiều trường hợp và mang nặng tính biến đổi.

Không biết có lời giải nào đẹp mắt không?







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh