Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
a) $$3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$$
b) $$3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$$
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
a) $$3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$$
b) $$3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$$
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
b) Áp dụng BĐT Bu-nhia và BĐT phụ 3(ab+bc+ca) $\leq (a+b+c)^{2}$ ta có:
$3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}) 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2})$
<=>$ 3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhtuoanh: 01-01-2016 - 11:44
HDG : Ta chỉ cần xét 2 trường hợp là đủ (Các bạn thử nghĩ tại sao ?)
TH1 : $a\geq b\geq c$ . BĐT cần chứng minh trở thành
$a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )+c\left ( c-a \right )\left ( c^{2}+ca-a^{2} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+b\left ( b-c \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )\geq c\left ( a-c \right )\left ( c^{2}+ca-a^{2} \right )$
Ta chỉ cần xét $c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành
$a^{2}\left ( ac-c^{2} \right )+\left ( a^{2}-ab \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )\geq \left ( ac-c^{2} \right )\left ( ac+c^{2} \right )$ (*) , vì $a\geq b\geq c$ nên
VT(*) $\geq a^{2}\left ( ac-c^{2} \right )+a^{2}\left ( a^{2}-ab \right )+b^{2}\left ( b^{2}-bc \right )$ $b^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+ac-ab-bc-c^{2} \right )\geq \left ( ac-c^{2} \right )\left ( ac+c^{2} \right )=c^{2}\left ( a^{2}-c^{2} \right )$ (Bạn đọc c/m chi tiết)
TH2 : $a\geq c\geq b$
Ở đây ta chỉ xét 2 khả năng sau
KN1 : $b^{2}+bc-c^{2}\leq 0;c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ ta c/m được $c\left ( a-c \right )\left ( c^{2} +ac-a^{2}\right )\leq a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2}\right )$ , suy ra đpcm!
KN2 : $b^{2}+bc-c^{2}\geq 0;c^{2}+ca-a^{2}\geq 0$ , BĐT cần c/m trở thành
$a\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )\geq b\left ( c-b \right )\left ( b^{2}+bc-c^{2} \right )+c\left ( a-c \right )\left ( c^{2}+ac-a^{2} \right )$
==> $VT=a\left ( a-c \right )\left ( a^{2}+ab-b^{2} \right )+a\left ( b-c \right )\left ( a^{2}+ab-b^{^{2}} \right )\geq VP$ (bạn đọc tự c/m chi tiết)
Tóm lại ta có thể kết thúc c/m.
Bài này nếu dùng cách này thì xét nhiều trường hợp và mang nặng tính biến đổi.
Không biết có lời giải nào đẹp mắt không?
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh