Mình có cách này:
Vì BĐT đồng bậc nên có thể giả sử $a+b+c=1$, BĐT trở thành:
$\sum \frac{2}{a+b}\geq 9+\sum (a-b)^{2}\\\Leftrightarrow 2.\frac{1+(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca-abc}\geq 9+2-6(ab+bc+ca)$
Áp dụng BĐT $abc\geq \prod (a+b-c)$, ta có:
$abc\geq (1-2a)(1-2b)(1-2c)\\\Rightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ca)-1\\\\\Rightarrow VT\geq \frac{2+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca-\frac{4}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{9}}$
Đặt $ab+bc+ca=k$ với $k\in \left (0;\frac{1}{3} \right ]$ , ta cần chứng minh:
$\frac{2(1+k)}{\frac{5}{9}k+\frac{1}{9}}\geq 11-6k\\\Rightarrow \frac{18(1+k)}{5k+1}\geq 11-6k$
BĐT trên đúng với $k\in \left (0;\frac{1}{3} \right ]$, ta có ĐPCM
Với cách giải tương tự, ta tìm được hằng số $k$ lớn nhất thỏa mãn BĐT là $k=\frac{27}{16}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 01-01-2016 - 22:24