Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho $a,b,c$ là những số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

 

Tổng quát, hãy tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT  $\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+k.\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 01-01-2016 - 21:43


#2
babylearnmathmv

babylearnmathmv

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

chắc dùng S.O.S phải ko bạn  :D

hình như dùng S.O.S khá đơn giản  :wub:



#3
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

chắc dùng S.O.S phải ko bạn  :D

hình như dùng S.O.S khá đơn giản  :wub:

S.O.S thì dễ nhưng mình muốn có cách giải sơ cấp hơn, cách S.O.S này phải chứng minh điều kiện của các hệ số $S_{a},S_{b},S_{c}$

Với lại đi thi họ không chấp nhận, bạn ạ  :D



#4
babylearnmathmv

babylearnmathmv

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

S.O.S thì dễ nhưng mình muốn có cách giải sơ cấp hơn, cách S.O.S này phải chứng minh điều kiện của các hệ số $S_{a},S_{b},S_{c}$

Với lại đi thi họ không chấp nhận, bạn ạ  :D

okie :v để tớ nghĩ thêm



#5
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

okie :v để tớ nghĩ thêm

Mình có cách này:

Vì BĐT đồng bậc nên có thể giả sử $a+b+c=1$, BĐT trở thành:

$\sum \frac{2}{a+b}\geq 9+\sum (a-b)^{2}\\\Leftrightarrow 2.\frac{1+(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca-abc}\geq 9+2-6(ab+bc+ca)$

Áp dụng BĐT $abc\geq \prod (a+b-c)$, ta có:

 

$abc\geq (1-2a)(1-2b)(1-2c)\\\Rightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ca)-1\\\\\Rightarrow VT\geq \frac{2+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca-\frac{4}{9}(ab+bc+ca)+\frac{1}{9}}$

 

Đặt $ab+bc+ca=k$ với $k\in \left (0;\frac{1}{3} \right ]$ , ta cần chứng minh:

$\frac{2(1+k)}{\frac{5}{9}k+\frac{1}{9}}\geq 11-6k\\\Rightarrow \frac{18(1+k)}{5k+1}\geq 11-6k$

BĐT trên đúng với $k\in \left (0;\frac{1}{3} \right ]$, ta có ĐPCM

 

 

Với cách giải tương tự, ta tìm được hằng số $k$ lớn nhất thỏa mãn BĐT là $k=\frac{27}{16}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 01-01-2016 - 22:24


#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $a,b,c$ là những số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

 

Tổng quát, hãy tìm hằng số $k$ tốt nhất để BĐT  $\sum \frac{2a}{b+c}\geq 3+k.\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đúng

 

Hằng số tốt nhất của bài này là hằng số lớn nhất. Ta có $k_{\max} = 2$ và có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, S.O.S hoặc đưa về một biến.

 

P/s. Từ bài này ta có thể suy ra được bất đẳng thức Iran TST 1996.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 02-01-2016 - 22:24

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh