Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

[quoccuonglqd]

$\sum \frac{x}{x+yz}=\sum \frac{x}{(x+z)(x+y)}=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Áp dụng bổ đề $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$,ta có

VT$\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(xy+yz+zx)}=\frac{9}{4}$

[superpower]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR $A=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

Bài này đơn giản

Ta có $x+yz=x(x+y+z) + yz= x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z)$

Thay vào, ta được 

$A= \frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)} \leq \frac{9}{4}$

Đặt $p=x+y+z ; q=xy+yz+xz, r=xyz$

Mặt khác, để ý $(x+y)(y+z)(z+x) = pq -r$

$xy+yz+xz = (x+y+z)(xy+yz+xz) \geq 9xyz $

Quy đồng, khử mẫu, kết hợp đổi biến, ta cần chứng minh

$q \geq 9r $ Đúng

[bvptdhv]

Dễ chứng minh $\sum \frac{x^{2}}{x+yz}=\sum \frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)} \leq \frac{3}{4}$ (theo AM-GM)

Giả sử $x \geq y \geq z$, áp dụng Chebyshev ta có $(x+y+z)P \leq 3.\sum \frac{x^{2}}{x+yz} =>P \leq \frac{9}{4}$

Dấu bằng tại $ x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 01-01-2016 - 17:11

[JayVuTF]

Tham khảo theo cách giải LG : 

 

 

Giải hệ phương trình:

 $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 \hspace{3.9cm}(1)\\ \frac{x}{x+yz} +\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} = \frac{9}{4} \:\:\:\:\:\:\:(2) \end{matrix} \right.$

Giải:

Nhận thấy $x,y,z=0$ không phải là nghiệm hệ

Viết lại phương trình (1) dưới dạng $\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$

Đặt $\sqrt{\frac{xy}{z}}= \tan \frac{A}{2} , \sqrt{\frac{xz}{y}}=\tan \frac{B}{2}, \sqrt{\frac{yz}{x}}=\tan \frac{C}{2}; A,B,C \in(0,\pi)$

ta được $\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}}=1$

Tương tự như ví dụ trên dễ dàng suy ra $A+B+C= \pi$

Phương trình (2):$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} =\displaystyle \frac{1}{1+tan^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{B}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{C}{2}}= \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2}=\frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{3+\cos A+\cos B+\cos C}{2}=\frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \cos A+ \cos B+\cos C= \frac{3}{2}$ 

$\Leftrightarrow 1-2\sin^2 \frac{A}{2} +2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}= \frac{3}{2}$ 

$\Leftrightarrow 4\sin^2 \frac{A}{2} +2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}=\frac{3}{2}$ (*) 

$\triangle  ' =4(\cos^2 \frac{B-C}{2}-1) \geqslant 0 $ .Mặt khác $\cos^2 \frac{B-C}{2}-1 \leqslant 0$ 

 Nên (3) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B-C}{2} \\ \sin \frac{B-C}{2}=0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi}{3}$ .

Từ đó suy ra $x=y=z=\frac{1}{3} \square$

 

 

Nguồn : VMF

 

 

[TMW]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

Nên làm đơn giản thôi nhỉ....

Bất đẳng thức tương đương với xy / (z + xy) + yz/(x + yz )+ zx / (zx + y) >= 3/4

Dùng bất đẳng thức cauchy-swarch: ( nhân tử mẫu mỗi phân thức tương ứng với xy, yz, zx đưa về dạng bdt cauchy - swarzch) 

Đặt a = xy, b= yz, c = zx ta chỉ cần chứng minh [ Chú ý 3xyz = 3xyz(x+y+z) = 3(ab + bc +ca)

(a + b + c)^2 / ( a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3bc + 3ca) >= 3/4

Quy đồng, đưa về dạng hàng ngang : 4( a + b + c )^2 >= 9(ab + bc + ca) + 3(a^2 + b^2 +c^2)

                                                       <=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc +ca ( xong)

Dễ chứ nhỉ