Chủ đề này có 1 trả lời

[vutung97]

Xét dãy số như sau

$$v_{n+2}=4v_{n+1}-2v_{n};v_{0}=1,v_{1}=3$$

 

CMR: $$2^{n}<v_{n}$$

[superpower]

Xét dãy số như sau

$$v_{n+2}=4v_{n+1}-2v_{n};v_{0}=1,v_{1}=3$$

 

CMR: $$2^{n}<v_{n}$$

Tính được nghiệm tổng quát

$4v_n = (2+\sqrt{2})^{n+1} + (2-\sqrt{2})^{n+1}$

Ta chứng minh $v_n \geq 2^n <=> 4v_n \geq 2^{n+2} $4

$<=> (2+\sqrt{2})^{n+1} + (2-\sqrt{2})^{n+1} \geq 2^{n+2}$

Quy nạp, ta thấy đúng với $n=0,1 $ Đúng

Giả sử đúng với $n=k$, ta chứng minh đúng với $n=k+1$

Thật vậy, ta có 

$(2+\sqrt{2})^{k+1} + (2-\sqrt{2})^{k+1} \geq 2(2+\sqrt{2})^{k} + 2(2-\sqrt{2})^{k} \geq 2^{k+2} $

Do đó, ta có đpcm