Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 giaosutoanhoc

giaosutoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán-Lí-Hóa
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 01-01-2016 - 18:45

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$



#2 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2016 - 19:07

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai



#3 babylearnmathmv

babylearnmathmv

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán vs ngắm hót gơn

Đã gửi 01-01-2016 - 19:24

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

sử dụng hằng đẳng thức lagrange ta có (1+b2)(1+c2)=(b+c)2+(bc-1)2 và 2(1+a2)=(1+a)2+(1-a)2

áp dụng bđt cauchy-schward ta có [((b+c)2+(bc-1)2)((1+a)2+(1-a)2)]1/2+2(1+abc)>=(b+c)(1+a)+(bc-1)(1-a)+2(1+abc)=(a+1)(b+1)(c+1)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 :wub:  >:)



#4 eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Chuyên Việt Nam
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 01-01-2016 - 21:26

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai

nếu $a=b=c=0$ thì vế trái thành $2+\sqrt{2}$,vế phải còn $1$ ,mặc khác $2+\sqrt{2}>1$ vậy BĐT đúng với $a=b=c=0$ mà bạn



#5 TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lập trình
    cờ tướng
    Chơi đàn, hát một mình

Đã gửi 03-01-2016 - 11:12

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

Mình sẽ hiểu là a,b,c không âm nhé

Ý tưởng đầu tiên dĩ nhiên là "khử căn"

2(a^2 + 1) >= (a+1)^2; và (1+b^2)(1+c^2)>=(b + c)^2

Chính vì vậy: Cái căn >= (a + 1)(b + c )

Tới đây nhân tung ra rút gọn xem thế nào ?

Thì 2(1+abc)+ ab + ac + b + c >= (a + b +c ) + (ab + bc +ca) + ( 1 + abc)

<=> ( 1 + abc ) >= a + bc <=> (1 - a )(1 - bc) >=0 ( cái này sẽ đúng nếu 1 - a và 1 - bc cùng dấu)

Nếu điều trên đúng, ta không cần chứng minh tiếp

Nếu điều trên sai nghĩa là 1 - a và 1 - bc ngược dấu

Lúc này lập luận tương tự với 1 - b; 1 - ac và 1-c ; 1 - ab chẳng hạn đều ngược dấu cả.... thì lúc này làm tiếp như sau ( vì nếu một cái cùng dấu thôi bdt được lập ngay)

Trong 3 số a,b, c phải có 1 số <=1

Giả sử a<=1 , bc >=1

Lúc này:

2(1 + abc)/ (1+a) >= 1+bc 

Thành thử ta chỉ cần chứng minh : 1 + bc + căn(1+b^2)(1+c^2) >= (1 + b)(1+ c) ( bạn có để ý là bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức đầu khi thay a = 1 không ???)

căn (1 + b^2)(1+c^2 ) >= b + c ( đến đây chứng minh xong)

Để tiện mình xin tóm tắt chứng minh như sau:

+ Khử căn nhờ đánh giá, bất đẳng thức sẽ thành lập nếu (1 - a)(1-bc)>=0 hoặc (1-b)(1-ac)>=0 hoặc (1-c)(1-ab)>=0

+ Trường hợp  3 biểu thức trên đều không thỏa thì trong ba số a, b, c phải có 1 số <= 1

   ( Nếu ngược lại a>1, b>1, c>1 thì (1-a)(1-bc)>0 --> mâu thuẫn) 

+ Giả sử a <=1 thì bc >=1

   Lúc này đưa về bất đẳng thức đơn giản (1 + bc) + căn (1 + b^2)(1+c^2) >= (1+b)(1+c)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh