Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
giaosutoanhoc

giaosutoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$



#2
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai



#3
babylearnmathmv

babylearnmathmv

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

sử dụng hằng đẳng thức lagrange ta có (1+b2)(1+c2)=(b+c)2+(bc-1)2 và 2(1+a2)=(1+a)2+(1-a)2

áp dụng bđt cauchy-schward ta có [((b+c)2+(bc-1)2)((1+a)2+(1-a)2)]1/2+2(1+abc)>=(b+c)(1+a)+(bc-1)(1-a)+2(1+abc)=(a+1)(b+1)(c+1)

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 :wub:  >:)



#4
eminemdech

eminemdech

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai

nếu $a=b=c=0$ thì vế trái thành $2+\sqrt{2}$,vế phải còn $1$ ,mặc khác $2+\sqrt{2}>1$ vậy BĐT đúng với $a=b=c=0$ mà bạn



#5
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Chứng minh $2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

Mình sẽ hiểu là a,b,c không âm nhé

Ý tưởng đầu tiên dĩ nhiên là "khử căn"

2(a^2 + 1) >= (a+1)^2; và (1+b^2)(1+c^2)>=(b + c)^2

Chính vì vậy: Cái căn >= (a + 1)(b + c )

Tới đây nhân tung ra rút gọn xem thế nào ?

Thì 2(1+abc)+ ab + ac + b + c >= (a + b +c ) + (ab + bc +ca) + ( 1 + abc)

<=> ( 1 + abc ) >= a + bc <=> (1 - a )(1 - bc) >=0 ( cái này sẽ đúng nếu 1 - a và 1 - bc cùng dấu)

Nếu điều trên đúng, ta không cần chứng minh tiếp

Nếu điều trên sai nghĩa là 1 - a và 1 - bc ngược dấu

Lúc này lập luận tương tự với 1 - b; 1 - ac và 1-c ; 1 - ab chẳng hạn đều ngược dấu cả.... thì lúc này làm tiếp như sau ( vì nếu một cái cùng dấu thôi bdt được lập ngay)

Trong 3 số a,b, c phải có 1 số <=1

Giả sử a<=1 , bc >=1

Lúc này:

2(1 + abc)/ (1+a) >= 1+bc 

Thành thử ta chỉ cần chứng minh : 1 + bc + căn(1+b^2)(1+c^2) >= (1 + b)(1+ c) ( bạn có để ý là bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức đầu khi thay a = 1 không ???)

căn (1 + b^2)(1+c^2 ) >= b + c ( đến đây chứng minh xong)

Để tiện mình xin tóm tắt chứng minh như sau:

+ Khử căn nhờ đánh giá, bất đẳng thức sẽ thành lập nếu (1 - a)(1-bc)>=0 hoặc (1-b)(1-ac)>=0 hoặc (1-c)(1-ab)>=0

+ Trường hợp  3 biểu thức trên đều không thỏa thì trong ba số a, b, c phải có 1 số <= 1

   ( Nếu ngược lại a>1, b>1, c>1 thì (1-a)(1-bc)>0 --> mâu thuẫn) 

+ Giả sử a <=1 thì bc >=1

   Lúc này đưa về bất đẳng thức đơn giản (1 + bc) + căn (1 + b^2)(1+c^2) >= (1+b)(1+c)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh