Đến nội dung

Hình ảnh

Một số đề hình học trường Đông 2015

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Bài 1 [Trường Đông Vinh ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $EM\parallel AB$ và $\angle ECM=\angle FCB$. Lấy điểm $N$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $FN\parallel AC$ và $\angle FBN=\angle EBC$. Gọi $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $E,F$ di chuyển.

Bài 2 [Trường Đông Hà Nội ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. $G,H$ đối xứng $E,F$ qua $I$. $GH$ cắt $BC$ tại $P$. Các điểm $M,N$ thuộc $IP$ sao cho $CM\perp IB$ và $BN\perp IC$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm $MN$.    

Bài 3 [Trường Đông Hà Nội ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC=180^\circ-\angle A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $I,J$ lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABE$ và $ACF$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $KI=KJ$.

Bài 4. [Trường Đông Phú Yên ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ với $E,F$ là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh $CA,AB$ sao cho $AE=AF$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $DBF,DCE$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $AH$ cắt $BC$ tại $S$. $G$ là đối xứng của $D$ qua $KL$. Lấy $T$ thuộc $DG$ sao cho $ST\perp BC$. $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng đường thẳng $GM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E,F$ thay đổi.   

 

Bài 5 [Trường Đông Phú Yên ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $\arc{BC}$. $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AM$. Các điểm $P,Q$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $OB,OC$ sao cho $OP=\dfrac{1}{4}OB=\dfrac{1}{4}OC=OQ$. Đường thẳng qua $N$ song song $CA$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OB$ tại $E$. Đường thẳng qua $N$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OC$ tại $F$. Chứng minh rằng $EF$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi $A$ di chuyển.

 

Tham khảo http://analgeomatica...truong-ong.html

 

 

File gửi kèm



#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Xét bài toán sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Các điểm $P, Q$ thỏa mãn $2\vec{OP}=\vec{BO}$ và $2\vec{OQ}=\vec{CO}$. $E$ là giao điểm của $AC$ và đường thẳng qua $P$ vuông góc với $OB$. $F$ là giao điểm của $AB$ và đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $OC$. Chứng minh rằng $EF$ tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Lời giải.

Gọi $K, L$ lần lược là trung điểm $AB, AC$. Dựng các đường kính $BB', CC'$ của $(O)$. Gọi $T$ là giao điểm của đường thẳng qua $B'$ vuông góc với $OE$ và đường thẳng qua $C'$ vuông góc với $OF$.

Dễ thấy $PQKL$ là hình bình hành, $OEPL$ và $OFKQ$ là hai tứ giác nội tiếp. Từ đó dễ chứng minh $\widehat{B'TC'}=\widehat{BAC}$ hay $T\in (O)$

Ngoài ra $OE=ET$ và $OF=FT$ nên $OT$ vuông góc với $EF$

Từ đó dễ dàng biến đổi góc chứng minh được $FO$ là phân giác góc $QFE$ và $EO$ là phân giác góc $PEF$ nên $EF$ luôn tiếp xúc với $(O, OP)$ cố định hay luôn tiếp xúc với $\left(O, \dfrac{R}{2}\right)$

 

Từ bài toán trên ta xét phép vị tự tâm $M$ (trung điểm $BC$) tỉ số $\dfrac{1}{2}$ là ta ra ngay bài toán $5$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Mình thấy topic này khá hay, tại sao mọi người lại không đăng lời giải?

Lời giải bài 1: $BE$ cắt $(ABC)$ tại $I$. Ta có: $\Delta BNF\sim \Delta BCI \Rightarrow \Delta IFB\sim \Delta CNB \Rightarrow \angle PCB=\angle BIF$

$CF$ cắt $(ABC)$ tại $J$, tương tự ta cũng có:$\angle PBC=\angle EJC$

Lại có:$\angle FEB=\angle IBC=\angle IJC$ nên $IJFE$ là tứ giác nội tiếp.

Vậy $\angle PBC=\angle PCB$ nên $P$ nằm trên đường trung trực của $BC$./


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 24-01-2016 - 20:33


#4
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Lời giải bài 2:

$CM$ cắt $IB$ tại $K$, $BN$ cắt $IC$ tại $L$. Gọi $X$ là trung điểm $BC$ thì $X$ là tâm ngoại tiếp tứ giác $BCKL$

Từ đây ta quy về chứng minh $IX$ vuông góc với $IP$ và áp dụng định lý con bướm sẽ suy ra đpcm./

P/s: thì ra thầy Hùng đã công bố luôn đáp án, thảo nào mà mọi người không mấy mặn mà./


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 24-01-2016 - 21:42


#5
vietanhpbc

vietanhpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

Lời giải bài 2:

$CM$ cắt $IB$ tại $K$, $BN$ cắt $IC$ tại $L$. Gọi $X$ là trung điểm $BC$ thì $X$ là tâm ngoại tiếp tứ giác $BCKL$

Từ đây ta quy về chứng minh $IX$ vuông góc với $IP$ và áp dụng định lý con bướm sẽ suy ra đpcm./

P/s: thì ra thầy Hùng đã công bố luôn đáp án, thảo nào mà mọi người không mấy mặn mà./

Ừ, tách gì mấy bài này thấy quen :)


Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

 

Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.

 

ALBERT EINSTEIN

 


#6
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Đáp án chỉ là đề tham khảo, các bạn vẫn có thể tìm ra cách giải riêng cho mình nếu muốn :)!



#7
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

 Bài 3 [Trường Đông Hà Nội ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC=180^\circ-\angle A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $I,J$ lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABE$ và $ACF$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $KI=KJ$.
 

Bài toán vẫn đúng ngay cả trong trương hợp tam giác $ABC$ không cân./

Hình gửi kèm

  • HINH.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-01-2016 - 21:58


#8
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Không phải đâu, em xem kỹ lại đi.



#9
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Không phải đâu, em xem kỹ lại đi.

  Vâng, đúng là em nhầm em sẽ xem lại ạ!



#10
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Bài 4. [Trường Đông Phú Yên ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ với $E,F$ là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh $CA,AB$ sao cho $AE=AF$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $DBF,DCE$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $AH$ cắt $BC$ tại $S$. $G$ là đối xứng của $D$ qua $KL$. Lấy $T$ thuộc $DG$ sao cho $ST\perp BC$. $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng đường thẳng $GM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E,F$ thay đổi.   

 

 

Bài số 4 em giải như vậy ạ!

Nhân tiện em cũng gửi thầy luôn bài hình tứ giác hai tâm:

Hình gửi kèm

  • Trường đông phú yên.jpg
  • Lời giải.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-04-2016 - 12:05






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh