Chủ đề này có 43 trả lời

[Min Nq]

 

Bài 31 : Cho $a,b$ là các số tự nhiên không chia hết cho $5$. Chứng minh $pa^8+qb^8$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $p+q$ chia hết cho $5$ 
Ta có thể tổng quát bài toán như sau :
Cho $a,b$ là các số tự nhiên không chia hết cho $5$. Chứng minh $pa^{4k}+qb^{4k}$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi $p+q$ chia hết cho $5$ 
 

Đầu tiên ta chứng minh bài toán phụ: lũy thừa bậc 4 của một số tự nhiên chia cho 5 chỉ có số dư là 0 hoặc 1

Chứng minh: Với số tự nhiên $x$, ta xét các trường hợp sau

• $x\equiv 0(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 0(mod 5)$, ta có đpcm.
• $x\equiv \pm 1(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 1(mod 5)$, ta có đpcm.
• $x\equiv \pm 2(mod5)\Rightarrow x^{4}\equiv 16\equiv 1(mod 5)$, ta có đpcm.

Bài toán phụ được chứng minh.

Trở lại bài 31, Vì a,b không chia hết cho 5 nên $a^4,b^4\equiv 1(mod5)$, suy ra $pa^8\equiv p(mod5)$ và $qb^8\equiv q(mod5)$. Vậy $pa^8+qb^8\equiv p+q(mod5)$.Suy ra được đpcm.

Bài toán mở rộng cmtt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 06-01-2016 - 21:49

[I Love MC]

Bài 32 : Đặt $2^n-2=kn$ 
$2^{2^{n-1}}-2=2(2^{2^{n-2}}-1)=2(2^{kn}-1) \vdots 2^n-1$ 
Bài 33 : Gợi ý sử dụng qui nạp toán học 
Bài 34 : Gợi ý sử dụng phản chứng và định Lí Fermat 
P/s : ko đánh lời giải được máy lag quá

[I Love MC]

Cám ơn bạn đã đóng góp cho TOPIC . Mình xin post tiếp bài tập chuyên đề $2$ . (Chết thật ,mấy bữa nay đi học nhiều quá) 
Bài 1: Chứng minh $1924^{2003^{2004^{2016}}}+1920$ chia hết cho $124$ 
Bài 2: Chứng minh rằng với $n$ là số tự nhiên thì : 
a) $13^{n+2}+14^{2n+1}$ chia hết cho $183$ 
b) $4^{2n}-3^{2n}-7$ chia hết cho $168$ ($n \ge 1$) 
c) $2002^n-138n-1$ chia hết cho $207$ 
d) $19^n-18n^2-1$ chia hết cho $72$ 
Bài 3 : Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $4^n+2^n+1$ chia hết cho $21$ 
Bài 4 : Tìm $n \in N$ nhỏ nhất sao cho $n^5+5^n$ chia hết cho $13$ 
Bài 5 : Chứng minh $2^m+3^n$ ko chia hết cho $23$ với mọi số tự nhiên $m,n$ 
Bài 6: Có hay ko số tự nhiên $n$ sao cho $2003^n+1$ chia hết cho $10^{2016}$ 
Bài 7 :Tìm $n$ nguyên dương để pt sau có nghiệm hữu tỉ : 
$x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ 
Bài 8 : Chứng minh với $n>1$ thì  $2^{1994^n}+17$ là hợp số . 

[Naruto Meow]

Tiếp tục nào   : 
Bài 14: Chứng minh rằng : 
a) $n^{12}-n^8-n^4+1 \vdots 512$ với $n$ lẻ 
b) $n^4-14n^3+71n^2-154n+120 \vdots 24$ 
c) $n^2+n+2$ không chia hết cho $15$ 
d) $9n^3+9n^2+3n-16$ không chia hết cho $343$  
e) $11^{n+2}+12^{2n+1} \vdots 133$ 
f) $5^{2n-1}.2^{n+1}+3^{n+1}.2^{2n-1} \vdots 38$ 
Bài 15 : Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $a^2+b^2 \vdots ab$ . Tính $\frac{a^2+b^2}{ab}$ 
Bài 16 : Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta có : 
$[1,2,...,2n]=[n+1,n+2,..,n+n]$ 
Bài 17 : Cho $A=1^k+2^k+...+n^k$ với $n \ge,n \in N^{*}$ và $k$ lẻ . $B=1+2+...+n$ . Chứng minh $\frac{A}{B} \in Z$ 
Bài 18 : Tìm $n$ nguyên dương sao cho $(n-1)! \vdots n$

Bạn tìm các bài này ở đâu vậy cho mình xin link với được không? Cảm ơn bạn!